Fazendo a=b=1 no Teorema do Binômio de Newton e no seu Corolário verifique que:
a) binomn0+binomn1+binomn2+cdots+binomnn=2^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a soma de todas as binomiais de ordem n é 2^n usando o Teorema do Binômio de Newton e seu corolário aplicando a=b=1. O conteúdo da matéria é expansão binomial e o que vamos precisar é exatamente a fórmula do teorema do binômio.

Passo 2

O Teorema do Binômio de Newton diz que, para inteiros n≥0, vale:
(a+b)^n = sumk=0^n binomnk ;a^n-k;b^k

Passo 3

Agora, fazendo a = 1 e b = 1 nessa fórmula, temos:
(1+1)^n = sumk=0^n binomnk ;1^n-k;1^k

Passo 4

Como 1^{n-k}=1 e 1^k=1, cada termo da soma fica apenas binomnk. Então o lado direito é exatamente a soma de todas as binomiais de ordem n. Portanto concluímos que:
sumk=0^n binomnk = 2^n

Resposta

binomn0 + binomn1 + cdots + binomnn = 2^n

Exercícios de Livros Relacionados