Prove por indução que:
c) n!>= 4^n para todo n >= 9.

Passo 1

Primeiro passo: Vamos resumir o enunciado e o conteúdo. Queremos provar por indução matemática que para todo inteiro n >= 9 vale a desigualdade n! >= 4^n. Para isso precisamos aplicar o princípio da indução: verificar a base, assumir a hipótese para um k genérico e então mostrar o passo indutivo.

Passo 2

Base da indução. Verificamos a desigualdade para n = 9. Calculamos as duas quantidades:
9! = 362880,
4^9 = 262144

Passo 3

Como 362880 >= 262144, a propriedade é verdadeira para n = 9.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum k >= 9 valha
k! >= 4^k

Passo 5

Passo indutivo. Precisamos mostrar que então
(k+1)! >= 4^k+1

Passo 6

Usando a definição de fatorial:
(k+1)! = (k+1),k!

Passo 7

Pela hipótese de indução temos k! >= 4^k, logo
(k+1)! = (k+1),k! >= (k+1),4^k

Passo 8

Como k >= 9 implica k+1 >= 10, segue
(k+1),4^k >= 4,4^k = 4^k+1

Passo 9

Portanto (k+1)! >= 4^k+1, completando o passo indutivo.

Passo 10

Conclusão. Pelos passos de base e indutivo, pelo princípio da indução, concluímos que n! >= 4^n para todo n >= 9.

Resposta

A desigualdade n! >= 4^n vale para todo inteiro n >= 9, conforme demonstrado por indução.

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