Prove por indução que:
c)
para todo
.
c)
Passo 1
Primeiro passo: Vamos resumir o enunciado e o conteúdo. Queremos provar por indução matemática que para todo inteiro
vale a desigualdade
. Para isso precisamos aplicar o princípio da indução: verificar a base, assumir a hipótese para um
genérico e então mostrar o passo indutivo.
Passo 2
Base da indução. Verificamos a desigualdade para
. Calculamos as duas quantidades:
Passo 3
Como
, a propriedade é verdadeira para
.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum
valha
Passo 5
Passo indutivo. Precisamos mostrar que então
Passo 6
Usando a definição de fatorial:
Passo 7
Pela hipótese de indução temos
, logo
Passo 8
Como
implica
, segue
Passo 9
Portanto
, completando o passo indutivo.
Passo 10
Conclusão. Pelos passos de base e indutivo, pelo princípio da indução, concluímos que
para todo
.
Resposta
A desigualdade
vale para todo inteiro
, conforme demonstrado por indução.