Dado o vetor unitário u in R^n, prove que o operador Hu: R^n R^n, definido por Hu cdot v=v-2lang<= v, urang<= u, é ortogonal. (Reflexão em torno de u^perp.) Dados os vetores v neq w em R^n, com |v|=|w|, mostre que, tomando u=(v-w) /|v-w|, tem-se Hu v=w. Determine a matriz de Hu em função das coordenadas de u (“matriz de Householder”).

Passo 1

O enunciado define, para um vetor unitário u em R^n, o operador linear de reflexão em torno de u^perp dado por
Hu(v)=v-2lang<= v,urang<=,u
Precisamos mostrar que este operador é ortogonal (isto é, preserva produto interno), verificar que, para dois vetores vneq w com |v|=|w|, escolhendo
u=v-w|v-w|,
temos Hu(v)=w, e finalmente determinar a forma matricial de Hu (a chamada matriz de Householder).

Passo 2

Para provar que Hu é ortogonal, usamos a definição de preservação de produto interno. Dados v,winR^n, calculamos
lang<= Hu(v),Hu(w)rang<==lang<= v-2lang<= v,urang<= u,;w-2lang<= w,urang<= urang<=
Expandindo e usando lang<= u,urang<==1 obtém-se
lang<= v,wrang<=-2lang<= v,urang<=lang<= u,wrang<=-2lang<= w,urang<=lang<= v,urang<=+4lang<= v,urang<=lang<= w,urang<==lang<= v,wrang<=
Logo Hu preserva produto interno e é ortogonal.

Passo 3

Para mostrar que Hu reflete v em w quando |v|=|w|, tomamos
u=v-w|v-w|
Então
lang<= v,urang<==lang<= v,v-wrang<=|v-w|= rac|v|^2-lang<= v,wrang<=|v-w|
e
|v-w|^2=|v|^2+|w|^2-2lang<= v,wrang<==2l(|v|^2-lang<= v,wrang<=r)
Daí
Hu(v)=v-2|v|^2-lang<= v,wrang<=|v-w|^2(v-w)=v-(v-w)=w

Passo 4

Como Hu é linear e satisfaz Hu(v)=v-2u(u^T v)=(I-2u u^T)v para todo v, a matriz de Hu na base canônica é
H=I-2,u,u^T
cuja entrada (i,j) é
Hij=de

Resposta

A matriz de Householder correspondente é
H=I-2,u,u^T,
onde u é unitário e Hij=de.

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