Dado o vetor unitário
, prove que o operador
, definido por
, é ortogonal. (Reflexão em torno de
.) Dados os vetores
em
, com
, mostre que, tomando
, tem-se
. Determine a matriz de
em função das coordenadas de u (“matriz de Householder”).
Passo 1
O enunciado define, para um vetor unitário u em
, o operador linear de reflexão em torno de
dado por
Precisamos mostrar que este operador é ortogonal (isto é, preserva produto interno), verificar que, para dois vetores
com
, escolhendo
temos
, e finalmente determinar a forma matricial de
(a chamada matriz de Householder).
Passo 2
Para provar que
é ortogonal, usamos a definição de preservação de produto interno. Dados
, calculamos
Expandindo e usando
obtém-se
Logo
preserva produto interno e é ortogonal.
Passo 3
Para mostrar que
reflete
em
quando
, tomamos
Então
e
Daí
Passo 4
Como
é linear e satisfaz
para todo
, a matriz de
na base canônica é
cuja entrada
é
Resposta
A matriz de Householder correspondente é
onde
é unitário e
.