Dados u=(1,2,4), v=(2,1,0) e w=(1,0,0), calcular os números a, b e c tais que a u+b v+c w=(4,6,8).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor (4,6,8) como combinação linear de u=(1,2,4), v=(2,1,0) e w=(1,0,0). O conteúdo é resolução de sistema linear por combinação de vetores em R^3. Vamos então montar um sistema de três equações para as incógnitas a, b e c.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando ao vetor desejado, temos
a(1,2,4)+b(2,1,0)+c(1,0,0)=(4,6,8)
Isso dá, componente a componente,
a + 2b + c = 4,
2a + b + 0cdot c = 6,
4a + 0cdot b + 0cdot c = 8

Passo 3

Da terceira equação
4a = 8
segue-se por simples divisão que
a = 2

Passo 4

Substituindo a=2 na segunda equação
2a + b = 6
fica
2cdot 2 + b = 6 Longrightarrow 4 + b = 6 Longrightarrow b = 2

Passo 5

Por fim, substituindo a=2 e b=2 na primeira equação
a + 2b + c = 4
temos
2 + 2cdot 2 + c = 4 Longrightarrow 2 + 4 + c = 4 Longrightarrow c = -2

Resposta

a=2,;b=2,;c=-2.

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