Dados A(1,-1,0), B(1,0,1) e C(0,1,2), determinar o ponto P tal que AP+BP=2 PC.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(1,-1,0), B=(1,0,1) e C=(0,1,2) em R^3 e pede o ponto P que satisfaz
AP + BP = 2,PC
Este é um problema de álgebra vetorial em que vamos usar as definições AP=P-A, BP=P-B e PC=C-P.

Passo 2

Escrevendo a relação dada em termos de P, A, B e C, temos
(P - A) + (P - B) ;=; 2,(C - P)

Passo 3

Vamos reorganizar essa igualdade. Primeiro, somamos os dois P no lado esquerdo:
2P - (A + B) = 2C - 2P

Passo 4

Agora isolamos P. Somando 2P em ambos os lados,
2P + 2P = 2C + A + B Longrightarrow 4P = 2C + A + B Longrightarrow P = 2C + A + B4

Passo 5

Substituindo as coordenadas:
A + B = (1,-1,0)+(1,0,1) = (2,-1,1), 2,C = 2,(0,1,2) = (0,2,4)
Logo
2C + A + B = (0,2,4)+(2,-1,1) = (2,1,5)

Passo 6

Dividindo por 4,
P = 14(2,1,5) = l(tfrac12,,tfrac14,,tfrac54r)

Resposta

P = l(tfrac12,,tfrac14,,tfrac54r)

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