Dados os pontos A de abscissa x=5 e B de ordenada y=3, representados respectivamente pelos conjuntos unitários \{5\} e \{3\}, descrever e fazer o gráfico dos conjuntos:
a) \{5\} \times \mathbf{R}
b) \mathbf{R} \times\{3\}
c) \{5\} \times \mathbf{R} \cap \mathbf{R} \times\{3\}

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos unitários, \{5\} e \{3\}, que representam a abscissa x=5 e a ordenada y=3. Precisamos usar o conceito de produto cartesiano para descrever e esboçar graficamente:
  1. \{5\}\times \mathbf{R}
  2. \mathbf{R}\times\{3\}
  3. \{5\}\times \mathbf{R}\;\cap\;\mathbf{R}\times\{3\}

Passo 2

O conjunto \{5\}\times \mathbf{R} é formado por todos os pares (x,y) tais que x=5 e y pode ser qualquer real. Geometricamente, isso é a reta vertical de abscissa 5. No plano cartesiano, basta traçar uma linha paralela ao eixo y que passe por x=5.

Passo 3

O conjunto \mathbf{R}\times\{3\} é formado por todos os pares (x,y) tais que y=3 e x pode ser qualquer real. Geometricamente, isso é a reta horizontal de ordenada 3. No plano cartesiano, basta traçar uma linha paralela ao eixo x que passe por y=3.

Passo 4

A interseção
\{5\}\times \mathbf{R}\;\cap\;\mathbf{R}\times\{3\}
é o conjunto de pontos que pertencem simultaneamente às duas retas. Logo, só sobra o ponto que satisfaz x=5 e y=3, ou seja, o par (5,3).

Resposta

(a) \{5\}\times \mathbf{R} é a reta vertical x=5.
(b) \mathbf{R}\times\{3\} é a reta horizontal y=3.
(c) A interseção é o ponto (5,3).

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