Dados os pontos
\mathbf{p}{1}=\left[ \begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right], \mathbf{p}{2}=\left[ \begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right] e \mathbf{p}{3}=\left[ \begin{array}{r}-1 \\ 2\end{array}\right] em \mathbb{R}^{2}, seja S=\operatorname{conv}\left{\mathbf{p}{1}, \mathbf{p}{2}, \mathbf{p}{3}\right}. Para cada funcional linear f, encontre o valor máximo m de f no conjunto S e encontre todos os pontos \mathbf{x} em S tais que f(\mathbf{x})=m.
c. f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-3 x_{1}-x_{2}

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = \operatorname{conv}\{\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\mathbf{p}_3\}
onde \mathbf{p}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, \mathbf{p}_{2}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} e \mathbf{p}_{3}=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix}.
Queremos maximizar a funcional linear
f(x_1,x_2) = -3x_1 - x_2
sobre S. Como S é o convexo dos vértices \mathbf{p}_i, o máximo de f em S ocorre obrigatoriamente em algum desses vértices.

Passo 2

Calculamos f em cada vértice:
f(\mathbf{p}_1) = f(1,0) = -3\cdot 1 - 0 = -3,
f(\mathbf{p}_2) = f(2,3) = -3\cdot 2 - 3 = -6 - 3 = -9,
f(\mathbf{p}_3) = f(-1,2) = -3\cdot(-1) - 2 = 3 - 2 = 1.

Passo 3

Comparando os valores:
-3,\;-9,\;1,
o maior valor é 1, obtido apenas em \mathbf{p}_3.

Resposta

O valor máximo é m=1 e o único ponto em que f(\mathbf{x})=m é
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix}.

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