Dados os pontos
\mathbf{p}{1}=\left[ \begin{array}{r}0 \\ -1\end{array}\right], \mathbf{p}{2}=\left[ \begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right] e \mathbf{p}{3}=\left[ \begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right] em \mathbb{R}^{2}, seja S=\operatorname{conv}\left{\mathbf{p}{1}, \mathbf{p}{2}, \mathbf{p}{3}\right}. Para cada funcional linear f, encontre o valor máximo m de f no conjunto S e encontre todos os pontos \mathbf{x} em S tais que f(\mathbf{x})=m.
c. f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-2 x_{1}+x_{2}

Passo 1

O enunciado dá três pontos em \mathbb R^2 \mathbf p_{1} = \begin{bmatrix}0\\\ -1\end{bmatrix},\quad \mathbf p_{2} = \begin{bmatrix}2\\\ 1\end{bmatrix},\quad \mathbf p_{3} = \begin{bmatrix}1\\\ 2\end{bmatrix}
e define o conjunto convexo
S = \operatorname{conv}\{\mathbf p_{1},\mathbf p_{2},\mathbf p_{3}\}.
Queremos encontrar
m = \max_{\mathbf x\in S}f(\mathbf x), \quad f(x_{1},x_{2}) = -2x_{1} + x_{2},
e todos os \mathbf x\in S tais que f(\mathbf x)=m. Como f é linear e S é um triângulo convexo, o máximo ocorre necessariamente em algum dos vértices \mathbf p_{1},\mathbf p_{2},\mathbf p_{3}.

Passo 2

Calculamos o valor de f em cada vértice:
f(\mathbf p_{1}) = -2\cdot 0 +(-1) = -1
f(\mathbf p_{2}) = -2\cdot 2 + 1 = -4 + 1 = -3
f(\mathbf p_{3}) = -2\cdot 1 + 2 = -2 + 2 = 0

Passo 3

Comparando os valores obtidos, vemos que o maior é
m = 0,
atingido somente em \mathbf p_{3}, pois f(\mathbf p_{1})=-1 e f(\mathbf p_{2})=-3 são menores.

Resposta

m = 0.
O conjunto dos pontos que atingem esse máximo é
\{\mathbf p_{3}\} = \left\{\begin{bmatrix}1\\\ 2\end{bmatrix}\right\}.

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