Dados os pontos
\mathbf{p}{1}=\left[ \begin{array}{r}0 \\ -1\end{array}\right], \mathbf{p}{2}=\left[ \begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right] e \mathbf{p}{3}=\left[ \begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right] em \mathbb{R}^{2}, seja S=\operatorname{conv}\left{\mathbf{p}{1}, \mathbf{p}{2}, \mathbf{p}{3}\right}. Para cada funcional linear f, encontre o valor máximo m de f no conjunto S e encontre todos os pontos \mathbf{x} em S tais que f(\mathbf{x})=m.
b. f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}-x_{2}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = \operatorname{conv}\{\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\mathbf{p}_3\},
onde \mathbf{p}_1 = \begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}, \mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{p}_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},
e pede o valor máximo \displaystyle m = \max_{\mathbf{x}\in S}f(\mathbf{x})
para a forma linear
f(x_1,x_2)=x_1 - x_2
e todos os \mathbf{x}\in S tais que f(\mathbf{x})=m.
Conteúdo aplicado: uma forma linear atinge seu máximo num conjunto convexo nos vértices (extremos) do conjunto.

Passo 2

Calculamos f em cada vértice:
f(\mathbf{p}_1)=0-(-1)=1,
f(\mathbf{p}_2)=2-1=1,
f(\mathbf{p}_3)=1-2=-1.

Passo 3

O valor máximo entre esses é
m=\max\{1,1,-1\}=1.

Passo 4

Os vértices que alcançam m=1 são \mathbf{p}_1 e \mathbf{p}_2. Como f é linear, qualquer combinação convexa destes dois também dá 1. Logo os maximais formam o segmento
\{\,(1-t)\mathbf{p}_1 + t\,\mathbf{p}_2 \mid t\in[0,1]\,\}.

Resposta

m = 1 \{\mathbf{x}\in S \mid f(\mathbf{x})=m\} = \{(1-t)\mathbf{p}_1 + t\,\mathbf{p}_2 \mid t\in[0,1]\}.

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