Dados os vetores: vec{u}=(1,-1,1) ; \vec{v}=(3,1,3) e vec{w}=(3,5,-9), calcular:
\vec{u} \wedge \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3, mas nos pede apenas o produto vetorial
\vec{u}\wedge\vec{v}, onde
\vec{u} = (1,-1,1), \quad \vec{v} = (3,1,3).
O conteúdo é o produto vetorial em \mathbb{R}^3, que gera um vetor perpendicular a \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Lembrando a definição: se
\vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\wedge\vec{b} = \bigl(a_2b_3 - a_3b_2,\;a_3b_1 - a_1b_3,\;a_1b_2 - a_2b_1\bigr).
Vamos aplicar essa fórmula a \vec{u} e \vec{v}.

Passo 3

Identificando componentes:
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)=(1,-1,1), \quad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)=(3,1,3).
Então cada componente de \vec{u}\wedge\vec{v} é
\begin{aligned} (\vec{u}\wedge\vec{v})_1 &= u_2\,v_3 - u_3\,v_2 = (-1)\cdot3 - 1\cdot1 = -3 - 1 = -4,\\\ (\vec{u}\wedge\vec{v})_2 &= u_3\,v_1 - u_1\,v_3 = 1\cdot3 - 1\cdot3 = 3 - 3 = 0,\\\ (\vec{u}\wedge\vec{v})_3 &= u_1\,v_2 - u_2\,v_1 = 1\cdot1 - (-1)\cdot3 = 1 + 3 = 4. \end{aligned}

Passo 4

Portanto, recolhendo os componentes, obtemos
\vec{u}\wedge\vec{v} = (-4,\;0,\;4).

Resposta

\vec{u}\wedge\vec{v} = (-4,0,4).

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