Decida quais das matrizes abaixo possuem inversa e calcule a inversa quando existir.
[ll 1 & 2 3 & 4 ][lll 4 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 8 ] [cccc 1 & 2 & 3 & 4 5 & 6 & 7 & 8 9 & 10 & 11 & 12 4 & 3 & 2 & 1 ] [llll 1 & 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 & 1 3 & 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 & 3 ]

Passo 1

Temos quatro matrizes: a 2×2 A=1&23&4, a 3×3 B=4&2&34&5&67&8&8, e duas 4×4 C=1&2&3&45&6&7&89&10&11&124&3&2&1 e D=1&1&1&12&3&2&13&1&1&21&2&1&3. Vamos usar determinante para decidir inversibilidade e depois calcular as inversas quando existirem.

Passo 2

Para A, calculamos det(A)=1cdot4-2cdot3=-2, que é diferente de zero, logo A é invertível. Usando a fórmula da inversa de 2×2:
A^-1=1det(A)d&-b-c&a=1-24&-2-3&1=-2&1tfrac32&-tfrac12

Passo 3

Para B, calculamos o determinante por expansão de Laplace ou regra de Sarrus:
det(B)=4,(5cdot8-6cdot8)-2,(4cdot8-6cdot7)+3,(4cdot8-5cdot7)=-21

Passo 4

Como det(B)=-21neq0, B é invertível. Calculando a matriz dos cofatores, sua transposta (adjunta) e dividindo por -21, obtemos:
B^-1=1218&-8&3-10&-11&123&18&-12

Passo 5

Para C, ao subtrair múltiplos da primeira linha das demais vemos que as linhas ficam linearmente dependentes, resultando em
det(C)=0

Passo 6

Portanto, C não tem inversa.

Passo 7

Para D, fazemos operações de Gauss–Jordan ou cálculo de determinante por redução de primeira coluna e obtemos
det(D)=-6neq0,
logo D é invertível. Aplicando Gauss–Jordan achamos:
D^-1=-tfrac23&tfrac16&tfrac12&-tfrac16-tfrac53&tfrac23&0&tfrac133&-tfrac12&-tfrac12&-tfrac12tfrac13&-tfrac13&0&tfrac13

Resposta

As matrizes invertíveis são:
Para A (2×2):
A^-1=-2&1tfrac32&-tfrac12
Para B (3×3):
B^-1=1218&-8&3-10&-11&123&18&-12
C não é invertível (determinante zero).
Para D (4×4):
D^-1=-tfrac23&tfrac16&tfrac12&-tfrac16-tfrac53&tfrac23&0&tfrac133&-tfrac12&-tfrac12&-tfrac12tfrac13&-tfrac13&0&tfrac13

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