Exiba uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e determine seu posto.
B:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base para a imagem (coluna) da transformação linear B\colon \mathbb R^4\to\mathbb R^5 e determinar o posto de B. Vamos usar que, na base canônica, a imagem de B é o espaço gerado pelas colunas da matriz associada a B e o posto é a dimensão desse espaço.
Passo 2
Precisamos montar a matriz A de B na base canônica. As colunas são B(e_1),B(e_2),B(e_3),B(e_4), onde e_i é o i-ésimo vetor canônico de \mathbb R^4. Calculando: B(e_1)=(1,2,-3,-3,10), B(e_2)=(2,4,0,0,2), B(e_3)=(2,3,2,1,5), B(e_4)=(-1,1,3,6,5).
Passo 3
Escrevendo A com essas colunas:
Passo 4
Para achar o posto e as colunas independentes, aplicamos eliminação de Gauss por linhas em A e observamos os pivôs: após as operações vemos que há pivô em cada uma das 4 colunas. Isso significa que todas as colunas são linearmente independentes.
Passo 5
Como as 4 colunas são independentes, elas formam uma base para Im(B) e o posto (dimensão da imagem) é 4.
Resposta
Uma base para Im(B) é
{(1,2,-3,-3,10),;(2,4,0,0,2),;(2,3,2,1,5),😭-1,1,3,6,5)}.
O posto de B é 4.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 9.10.b