Exiba uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e determine seu posto.
B:
R^4 R^5, B(x, y, z, t)=(x+2 y+2 z-t, 2 x+4 y+3 z+t,-3 x+ 2 z+3 t,-3 x+z+6 t, 10 x+2 y+5 z+5 t)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base para a imagem (coluna) da transformação linear B\colon \mathbb R^4\to\mathbb R^5 e determinar o posto de B. Vamos usar que, na base canônica, a imagem de B é o espaço gerado pelas colunas da matriz associada a B e o posto é a dimensão desse espaço.

Passo 2

Precisamos montar a matriz A de B na base canônica. As colunas são B(e_1),B(e_2),B(e_3),B(e_4), onde e_i é o i-ésimo vetor canônico de \mathbb R^4. Calculando: B(e_1)=(1,2,-3,-3,10), B(e_2)=(2,4,0,0,2), B(e_3)=(2,3,2,1,5), B(e_4)=(-1,1,3,6,5).

Passo 3

Escrevendo A com essas colunas:
A= 1 & 2 & 2 & -1 2 & 4 & 3 & 1 -3&0 &2 &3 -3&0 &1 &6 10&2 &5 &5

Passo 4

Para achar o posto e as colunas independentes, aplicamos eliminação de Gauss por linhas em A e observamos os pivôs: após as operações vemos que há pivô em cada uma das 4 colunas. Isso significa que todas as colunas são linearmente independentes.

Passo 5

Como as 4 colunas são independentes, elas formam uma base para Im(B) e o posto (dimensão da imagem) é 4.

Resposta

Uma base para Im(B) é
{(1,2,-3,-3,10),;(2,4,0,0,2),;(2,3,2,1,5),😭-1,1,3,6,5)}.
O posto de B é 4.

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