Defina A= round(10*rand(6)). Para cada item a seguir, use o MATLAB para calcular a matriz indicada. Diga qual a relação entre essa segunda matriz e A e calcule o determinante de ambas. Qual a relação entre os determinantes?
D=A ; \quad D(5,:)=A(5,:)+2 * A(4,:)

Passo 1

O enunciado define uma matriz A\in\mathbb{R}^{6\times6} gerada em MATLAB como
A \(=\) round(\(10\)*rand(\(6\)));
e pede para construirmos
D \(=\) A;
D(\(5\),:) \(=\) A(\(5\),:) \(+2\)*A(\(4\),:);
em que só mudamos a quinta linha de A. O tema é “operações elementares de linha” e seu efeito no determinante.

Passo 2

Em termos de matrizes, escrevemos
D = \begin{pmatrix} \; & & & & & \\\ & & & & & \\\ & & A_{4,:} & & & \\\ & & & & & \\\ & & A_{5,:}+2\,A_{4,:} & & & \\\ & & & & & \end{pmatrix},
ou seja, D difere de A apenas porque
R_5(D)=R_5(A)+2\,R_4(A).

Passo 3

Na teoria de determinantes existe a “operação elementar de linha tipo III”, que consiste em substituir uma linha por ela mais um múltiplo de outra linha. A propriedade fundamental é:
se B é obtida de A por
R_i(B)=R_i(A)+k\,R_j(A),
com i\neq j, então
\det(B)=\det(A).

Passo 4

Em MATLAB podemos verificar numericamente:
A  \(=\) round(\(10\)*rand(\(6\)));
detA \(=\) det(A);
D  \(=\) A;
D(\(5\),:) \(=\) A(\(5\),:) \(+2\)*A(\(4\),:);
detD \(=\) det(D);
Ao executar, sempre se obtém
\det(D)=\det(A).

Resposta

A matriz D é obtida de A pela operação elementar de linha
R_5\leftarrow R_5 + 2\,R_4,
e essa operação não altera o determinante. Consequentemente,
\det(D)=\det(A).

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