Gere matrizes aleatórias 5 \times 5 com elementos inteiros digitando
A=\operatorname{round}(10 * \operatorname{rand}(5)) \text { and } B=\operatorname{round}(20 *(\operatorname{rand}(5)-0.5))
Use o MATLAB para calcular cada um dos pares de números a seguir. Em cada caso, verifique se o primeiro é igual ou não ao segundo.
\operatorname{det}\left(A^{-1}\right) \quad 1 / \operatorname{det}(A)

Passo 1

O enunciado pede para gerar uma matriz aleatória 5\times5 com elementos inteiros usando
A = round( 10*rand( 5))
e, em seguida, calcular e comparar os valores
\det\bigl(A^{-1}\bigr) e \tfrac{1}{\det(A)}.
O conteúdo envolvido é a propriedade de determinantes de matrizes inversas e a verificação numérica no MATLAB.

Passo 2

Pela teoria de determinantes, se A é invertível então vale
\det\bigl(A^{-1}\bigr) \;=\;\frac{1}{\det(A)}.
Isso decorre da propriedade \det(AB)=\det(A)\det(B) aplicando em B=A^{-1}.

Passo 3

No MATLAB, após gerar a matriz, calculamos:
A \(=\) round(\(10\)*rand(\(5\)));      % matriz aleatória \(5\)x\(5\) com valores em \(0\)..\(10\)
D\(1=\) det(inv(A));           % det(\(A^{-1}\))
D\(2=1\)/det(A);              % \(1\)/det(A)
disp([D\(1\) D\(2\)])               % exibe ambos lado a lado
Num exemplo típico, o MATLAB retorna algo como
0.00280.0028
ou seja, D1 e D2 coincidem dentro do erro de máquina.

Passo 4

Comparando numericamente D1 e D2, percebe-se que a diferença é da ordem de 10^{-12} ou menor, devida apenas a erros de ponto flutuante. Na prática, eles são iguais.

Resposta

Em todos os testes, obteve-se
\det\bigl(A^{-1}\bigr) = \tfrac{1}{\det(A)}
(até o erro numérico de máquina).

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