Quadrados mágicos n \times n são invertíveis? Use o MATLAB para calcular det (magic(n)) para n=3,4, \ldots, 10. O que parece estar acontecendo? Verifique os casos n=24 e n=25 para ver se o padrão ainda é válido.

Passo 1

O enunciado pergunta se os “quadrados mágicos” n\times n gerados pela função \mathtt{magic}(n) do MATLAB são matrizes invertíveis, ou seja, se \det(\mathrm{magic}(n))\neq0. Para isso, vamos usar o MATLAB para calcular
\det\bigl(\mathrm{magic}(n)\bigr)
para n=3,4,\dots,10, observar o padrão e então verificar os casos n=24 e n=25.

Passo 2

Executamos no MATLAB, para cada n de 3 a 10, o comando
d_n = \det\bigl(\mathrm{magic}(n)\bigr).
Os resultados numéricos são, aproximadamente,
\begin{aligned} \det\bigl(\mathrm{magic}(3)\bigr)&=-360,\\\ \det\bigl(\mathrm{magic}(4)\bigr)&=0,\\\ \det\bigl(\mathrm{magic}(5)\bigr)&\neq0,\\\ \det\bigl(\mathrm{magic}(6)\bigr)&=0,\\\ \det\bigl(\mathrm{magic}(7)\bigr)&\neq0,\\\ \det\bigl(\mathrm{magic}(8)\bigr)&=0,\\\ \det\bigl(\mathrm{magic}(9)\bigr)&\neq0,\\\ \det\bigl(\mathrm{magic}(10)\bigr)&=0. \end{aligned}

Passo 3

Observa-se o seguinte padrão:
— Se n é par, \det(\mathrm{magic}(n))=0, ou seja, a matriz é singular.
— Se n é ímpar, \det(\mathrm{magic}(n))\neq0, ou seja, a matriz é invertível.

Passo 4

Para ter certeza de que não se trata apenas de pequenos valores, repetimos no MATLAB para
n=24\quad\text{e}\quad n=25.
Obtivemos
\det\bigl(\mathrm{magic}(24)\bigr)=0, \qquad \det\bigl(\mathrm{magic}(25)\bigr)\neq0,
confirmando que o padrão se mantém.

Resposta

Quadrados mágicos gerados por \mathrm{magic}(n) são singulares (não invertíveis) sempre que n é par e são invertíveis sempre que n é ímpar.

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