Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos P(-2,0), Q(0,2) e R(4,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência que passa pelos pontos P(-2,0), Q(0,2) e R(4,0).
Conteúdo: geometria analítica no plano – equação de circunferência.
Para resolver, vamos encontrar o centro (h,k) como interseção de duas mediatrizes e depois o raio r.

Passo 2

Escolhemos dois lados do triângulo PQR e construímos suas mediatrizes. Primeiro, o segmento PQ:
– Ponto médio M1 de P(-2,0) e Q(0,2):
M1 = l(-2+02,,0+22r) = (-1,1)
– A reta PQ tem coeficiente angular
mPQ = 2-00-(-2) = 22 = 1,
logo a mediatriz tem coeficiente -1. Sua equação em forma ponto-inclinação é
y - 1 = -1,(x + 1),
que simplifica para
y = -x

Passo 3

Agora, o segmento QR:
– Ponto médio M2 de Q(0,2) e R(4,0):
M2 = l(0+42,,2+02r) = (2,1)
– A reta QR tem coeficiente angular
mQR = 0-24-0 = -tfrac12,
logo a mediatriz tem coeficiente 2. Sua equação é
y - 1 = 2,(x - 2),
que dá
y = 2x - 3

Passo 4

O centro
Igualando .

Passo 5

O raio r é a distância de C(1,-1) a um dos pontos dados, por exemplo P(-2,0):
r^2 = (1 - (-2))^2 + (-1 - 0)^2 = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10

Passo 6

A equação reduzida da circunferência com centro (1,-1) e raio raiz10 é
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 10
Se quiser na forma geral, expandindo:
x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 10 Longrightarrow x^2 + y^2 - 2x + 2y - 8 = 0

Resposta

(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 10

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