Indicar as condições sobre m e p para que a equação 2 x^2+m y^2+4 x+8 y+p=0 represente uma circunferência.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de segundo grau
2x^2+m y^2+4x+8y+p=0
e pede condições sobre m e p para que seja uma circunferência. Em geometria analítica, uma conica dessa forma é circunferência se e somente se o coeficiente de x^2 for igual ao de y^2, ambos não nulos, e o raio obtido após completar quadrados for real e positivo.

Passo 2

Impondo igualdade dos coeficientes de x^2 e de y^2 obtemos
2 = m,
pois o termo misto xy já é nulo.

Passo 3

Com m=2, a equação vira
2l(x^2+y^2r)+4x+8y+p=0
Dividindo tudo por 2 e completando quadrados:
x^2+2x + y^2+4y + p2=0 ;Longrightarrow; (x+1)^2-1 + (y+2)^2-4 + p2=0
Longrightarrow; (x+1)^2 + (y+2)^2 = 5 - p2

Passo 4

Para ter uma circunferência não degenerada, o raio ao quadrado deve ser positivo:
5 - p2 > 0 ;Longrightarrow; p2 < 5 ;Longrightarrow; p < 10

Resposta

m = 2 e p < 10.

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