Determine quais dos conjuntos abaixo são subanéis:
b)
do corpo dos números complexos;
b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subanel de
.
Para isso, basta conferir:
Para isso, basta conferir:
-
não é vazio (contém pelo menos ). -
é fechado sob adição e tem inversos aditivos (ou seja, fechado sob subtração). -
é fechado sob multiplicação.
Passo 2
Verificação da adição e inversos aditivos:
Sejam e
em
, com
e
.
Então
Sejam
Então
Como a soma de inteiros é inteiro e a soma de pares é par, segue que
e
. Logo
.
Além disso, o inverso aditivo de é
Além disso, o inverso aditivo de
onde
e
. Logo
.
Passo 3
Verificação da multiplicação:
Ainda com e
, temos
Ainda com
-
é inteiro, pois e é par vezes par, ou seja, múltiplo de , portanto inteiro. -
é soma de termos onde cada termo é inteiro vezes número par, logo é par. Assim .
Portanto.
Passo 4
Verificação da existência de elemento neutro (opcional para subanel unitário):
O número tem parte real em
e parte imaginária
, logo
.
O número