Determine quais dos conjuntos abaixo são subanéis:
b) M=a+b i mid a in Z, b in 2 Z do corpo dos números complexos;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
M = ,a + b,i mid ainZ,;bin 2Z
é um subanel de C.
Para isso, basta conferir:
  1. M não é vazio (contém pelo menos 0).
  2. M é fechado sob adição e tem inversos aditivos (ou seja, fechado sob subtração).
  3. M é fechado sob multiplicação.

Passo 2

Verificação da adição e inversos aditivos:
Sejam z1 = a1 + b1 i e z2 = a2 + b2 i em M, com a1,a2inZ e b1,b2in 2Z.
Então
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2),i
Como a soma de inteiros é inteiro e a soma de pares é par, segue que a1+a2inZ e b1+b2in 2Z. Logo z1+z2in M.
Além disso, o inverso aditivo de z1 é
-z1 = (-a1) + (-b1),i,
onde -a1inZ e -b1in 2Z. Logo -z1in M.

Passo 3

Verificação da multiplicação:
Ainda com z1 = a1 + b1 i e z2 = a2 + b2 i, temos
z1 z2 = (a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = (a1a2 - b1b2) ;+;(a1 b2 + a2 b1),i
  1. a1a2 - b1b2 é inteiro, pois a1a2inZ e b1b2 é par vezes par, ou seja, múltiplo de 4, portanto inteiro.
  2. a1b2 + a2b1 é soma de termos onde cada termo é inteiro vezes número par, logo é par. Assim a1b2 + a2b1in 2Z.
    Portanto z1z2in M.

Passo 4

Verificação da existência de elemento neutro (opcional para subanel unitário):
O número 1 = 1 + 0,i tem parte real em Z e parte imaginária 0in 2Z, logo 1in M.

Resposta

M é subanel de C.

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