Determine quais dos conjuntos abaixo são subanéis:
a) L=a+b raiz5 mid a, b in Q do anel dos números reais;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
L = a + braiz5 mid a,b in Q
é subanel de R. Para isso vamos usar a definição de subanel: mostrar que L é não-vazio, contém o neutro multiplicativo e é fechado sob soma, inverso aditivo e produto.

Passo 2

Mostramos que L é não-vazio e já contém os elementos neutros:
  • Zero: 0 = 0 + 0raiz5in L.
  • Um: 1 = 1 + 0raiz5in L.

Passo 3

Fechamento sob soma e inverso aditivo. Tomemos
x = a1 + b1raiz5, y = a2 + b2raiz5,
com ai,biinQ. Então
x + y = (a1 + a2) + (b1 + b2)raiz5,in L,
e
-,x = (-a1) + (-b1)raiz5,in L

Passo 4

Fechamento sob multiplicação. Ainda com x e y acima,
xcdot y = (a1 + b1raiz5)(a2 + b2raiz5) = (a1a2 + 5b1b2) + (a1b2 + a2b1)raiz5
Como a1a2 + 5b1b2inQ e a1b2 + a2b1inQ, segue que xcdot yin L.

Resposta

O conjunto L é subanel de R.

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