Determine as coordenadas do centro, vértices e focos das elipses: 4 x^2-8 x+9 y^2-36 y+4=0 e 16 y^2+64 y+x^2-4 x+52=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar o centro, os vértices e os focos de duas elipses dadas por equações gerais. Vamos usar completar quadrados para reescrever cada uma na forma padrão (x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1, identificar (h,k), os semi-eixos a,b e então usar c^2=|a^2-b^2| para achar os focos.

Passo 2

Para a primeira elipse 4x^2-8x+9y^2-36y+4=0, fatoramos coeficientes e completamos quadrados:
4l(x^2-2xr)+9l(y^2-4yr)+4=0
4l((x-1)^2-1r)+9l((y-2)^2-4r)+4=0
4(x-1)^2-4+9(y-2)^2-36+4=0
4(x-1)^2+9(y-2)^2=36Longrightarrow(x-1)^29+(y-2)^24=1.

Passo 3

Nessa forma padrão temos centro (h,k)=(1,2), semi-eixos a=3 e b=2 (pois a^2=9>b^2=4). Então c=raiza^2-b^2=raiz5. Como o eixo maior é horizontal, os vértices são (1pm3,2) e os focos são (1pmraiz5,2).

Passo 4

Para a segunda elipse 16y^2+64y+x^2-4x+52=0, reordenamos e completamos quadrados:
x^2-4x+16(y^2+4y)+52=0
(x-2)^2-4+16l((y+2)^2-4r)+52=0
(x-2)^2-4+16(y+2)^2-64+52=0
(x-2)^2+16(y+2)^2=16Longrightarrow(x-2)^216+(y+2)^21=1.

Passo 5

Aqui o centro é (h,k)=(2,-2), temos a=4 e b=1 (pois a^2=16>b^2=1), logo c=raiz15. O eixo maior é horizontal, então os vértices são (2pm4,-2) e os focos são (2pmraiz15,-2).

Resposta

Elipse 1: centro (1,2), vértices (-2,2) e (4,2), focos (1pmraiz5,2). Elipse 2: centro (2,-2), vértices (-2,-2) e (6,-2), focos (2pmraiz15,-2).