Determine as coordenadas do vetor de em relação às bases:

Passo 1

O enunciado pede para expressar o polinômio
p(t)=-3+4t+t^2
no espaço P2 em relação à base
,1+t,;-1+t,;(-1+t)^2. O conteúdo aqui é coordenadas em bases de espaços de polinômios: precisamos escrever p(t) como combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Denotemos
v1 = 1+t, v2 = -1+t, v3 = (-1+t)^2 = 1 - 2t + t^2
Procuramos escalares a,b,c tais que
p(t) = a,v1 + b,v2 + c,v3

Passo 3

Escrevendo a combinação e agrupando termos, temos
a(1+t)+b(-1+t)+c(1-2t+t^2) =-3+4t+t^2
No lado esquerdo, o coeficiente de t^2 é c, de t é a+b-2c e o termo constante é a - b + c.

Passo 4

Igualando coeficientes de cada potência de t obtemos o sistema:
(coef de t^2): c = 1
(constante): a - b + c = -3
(coef de t): a + b - 2c = 4

Passo 5

Substituindo c=1 nas outras duas equações:
a - b + 1 = -3Rightarrow a - b = -4,
a + b - 2cdot1 = 4Rightarrow a + b = 6
Somando as duas, 2a = 2 leva a a=1. Então b = 6 - a = 5.

Resposta

As coordenadas de p(t) na base 1+t,,-1+t,;(-1+t)^2 são
(1,,5,,1)

Exercícios de Livros Relacionados