Sabendo que B=(1,3),(2,-4) é uma base do R^2 e que [rr2 & 3 4 & -7]
é a matriz de mudança da base B para a base C, determine a base C.

Passo 1

O enunciado nos dá a base B=b1,b2 de R^2, com
b1=13, b2=2-4,
e diz que
A=[v]B=[v]C
para todo v, o que implica que as colunas de A são justamente as coordenadas de b1 e b2 na base C.

Passo 2

Seja C=u1,u2. Da definição de mudança de base, temos
[b1]C=24, [b2]C=3-7
Isto é,
b1=2,u1+4,u2, b2=3,u1-7,u2

Passo 3

Escrevendo essas igualdades como sistema de vetores em coordenadas canônicas, com
;u1=(u1x,u1y); e ;u2=(u2x,u2y), obtemos
2,u1x+4,u2x=1,[4pt] 2,u1y+4,u2y=3, 3,u1x-7,u2x=2,[4pt] 3,u1y-7,u2y=-4 ]

Passo 4

Resolvendo as componentes
subtraindo dá
Então de (2,u_{1x}+4,u_{2x}=1] vem

Passo 5

Resolvendo as componentes
subtraindo dá
E de (2,u_{1y}+4,u_{2y}=3] segue

Passo 6

Portanto os vetores de C em coordenadas canônicas são
u1=tfrac1526[4pt]tfrac526, u2=-tfrac126[4pt]tfrac1726 ]

Resposta

A base C é
C=tfrac1526[4pt]tfrac526,; -tfrac126[4pt]tfrac1726 ]

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