b) Achar a matriz de mudança de B para C e a de C para B.
c) Achar uma base D de U, de tal maneira que a matriz de mudança de D para B seja:
lll 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 3 & 1
Passo 1
O enunciado define o subespaço
de dimensão 3 (pois impõe uma restrição linear a 4 coordenadas). Para resolver usaremos parametrização de , show de independência e cálculo de matrizes de mudança de base.
Passo 2
Parametrizamos resolvendo , ou seja
Logo
Isso mostra que
gera . Como são três vetores em espaço de dimensão 3 e eles satisfazem a relação acima de forma única, estão também linearmente independentes. Portanto é base de .
Passo 3
Para a base
fazemos
cuja solução , existe e é única. Logo gera e tem 3 vetores independentes em dimensão 3; assim também é base de .
Passo 4
Para achar a matriz de mudança de base de B para C expressamos cada bj em coordenadas da base C. Chamando PBto C essa matriz, suas colunas são os coeficientes de
b1=1&10&0 =1,c1 +(-1),c2 +0,c3,
b2=1&01&0 =1,c1+0,c2+0,c3,
b3=0&00&1 =0,c1+0,c2+1,c3
Portanto
PBto C = 1 & 1 & 0 -1& 0 & 0 0 & 0 & 1
Dessa forma para qualquer vin U valem [!v!]C=PBto C,[!v!]B.
Passo 5
Analogamente, para PCto B expressamos cada vetor de C em B: