Considere o seguinte subespaço vetorial de M2(R) :
U=[cc x & y z & t ]: x-y-z=0
a) Mostre que os seguintes subconjuntos de M2(R) são bases de U :
B=[ll 1 & 1 0 & 0 ],[ll 1 & 0 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ]
e
C=[ll 1 & 0 1 & 0 ],[rr 0 & -1 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ]
b) Achar a matriz de mudança de B para C e a de C para B.
c) Achar uma base D de U, de tal maneira que a matriz de mudança de D para B seja:
lll 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 3 & 1

Passo 1

O enunciado define o subespaço
de dimensão 3 (pois impõe uma restrição linear a 4 coordenadas). Para resolver usaremos parametrização de , show de independência e cálculo de matrizes de mudança de base.

Passo 2

Parametrizamos resolvendo , ou seja
Logo
Isso mostra que
gera . Como são três vetores em espaço de dimensão 3 e eles satisfazem a relação acima de forma única, estão também linearmente independentes. Portanto é base de .

Passo 3

Para a base
fazemos
cuja solução , existe e é única. Logo gera e tem 3 vetores independentes em dimensão 3; assim também é base de .

Passo 4

Para achar a matriz de mudança de base de B para C expressamos cada bj em coordenadas da base C. Chamando PBto C essa matriz, suas colunas são os coeficientes de
b1=1&10&0 =1,c1 +(-1),c2 +0,c3,
b2=1&01&0 =1,c1+0,c2+0,c3,
b3=0&00&1 =0,c1+0,c2+1,c3
Portanto
PBto C = 1 & 1 & 0 -1& 0 & 0 0 & 0 & 1
Dessa forma para qualquer vin U valem [!v!]C=PBto C,[!v!]B.

Passo 5

Analogamente, para PCto B expressamos cada vetor de C em B:
c1=b2 implies [c1]B=(0,1,0)^T,
c2=0&-11&0 =-1,b1+1,b2+0,b3implies [c2]B=(-1,1,0)^T,
c3=b3implies [c3]B=(0,0,1)^T
Então
PCto B = 0 & -1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
com [!v!]B=PCto B,[!v!]C.

Passo 6

Queremos uma base D=d1,d2,d3 de modo que a matriz de mudança de D para B seja
MDto B = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 3 & 1
Isso significa que
d1 = 1,b1+0,b2+0,b3 = b1,
d2 = 1,b1+0,b2+3,b3 = b1+3,b3,
d3 = 0,b1+2,b2+1,b3 = 2,b2 + b3
Em forma explícita, usando
;b1=1&10&0,; b2=1&01&0,; b3=0&00&1,
obtemos
d1=1&10&0, d2=1&10&3, d3=2&02&1
É fácil checar que d1,d2,d3 é base de U e que [!dj!]B são as colunas de MDto B.

Resposta

a) As famílias
B=l1&10&0,, 1&01&0,, 0&00&1r e C=l1&01&0,, 0&-11&0,, 0&00&1r
são bases de U.
b)
PBto C = 1 & 1 & 0 -1& 0 & 0 0 & 0 & 1 , PCto B = 0 & -1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1
c) Uma base D cuja matriz de mudança para B seja 1&1&00&0&20&3&1 é
D=l 1&10&0, 1&10&3, 2&02&1 r

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