Determine os extremos locais de
usando o teste da derivada segunda quando aplicável. Ache os intervalos em que o gráfico de
é côncavo para cima ou para baixo, e determine as coordena-das-
dos pontos de inflexão. Faça o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre os extremos locais de
usando o teste da derivada segunda, depois determine onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo (isto é, o sinal de
) e ache as abscissas dos pontos de inflexão (onde
e muda de sinal). Por fim, devemos esboçar o formato geral do gráfico de
. Para isso vamos precisar calcular
,
, resolver equações e analisar sinais.
Passo 2
Calcular as derivadas de primeira e segunda ordem.
Para temos
Para
Passo 3
Encontrar pontos críticos e classificar extremos.
Resolvendo :
Resolvendo
Avaliação de
nesses pontos:
, teste inconclusivo.
, indica mínimo local em
.
Como tem fator
em
, seu sinal não muda em
(a derivada permanece negativa de ambos os lados), logo não há extremo em
.
O único extremo local é, portanto, um mínimo em .
O valor é
Como
O único extremo local é, portanto, um mínimo em
O valor é
isto é, mínimo local em
.
Passo 4
Determinar intervalos de concavidade pelo sinal de
.
As raízes são e
. Montando o sinal:
As raízes são
- Para
: e ⇒ (côncavo para cima). - Para
: e ⇒ (côncavo para baixo). - Para
: e ⇒ (côncavo para cima).
Passo 5
Pontos de inflexão são onde
e há troca de concavidade.
Isso ocorre em e
.
As coordenadas são
Isso ocorre em
As coordenadas são
Passo 6
Esboço do gráfico de
:
- Como para
,
decresce desde
(em
) até o mínimo em
, depois cresce para
(em
).
- Há inflexão em , trocando de côncavo para cima (à esquerda) para côncavo para baixo (à direita).
- Há nova inflexão em , trocando de côncavo para baixo para côncavo para cima antes de atingir o mínimo em
.
O esboço mostra um “U” amplo à esquerda, achatamento e concavidade para baixo entre e
, depois retomada da concavidade para cima até o mínimo em
, e então crescimento.
- Como
- Há inflexão em
- Há nova inflexão em
O esboço mostra um “U” amplo à esquerda, achatamento e concavidade para baixo entre
Resposta
Extremo local: mínimo em
.
Nenhum máximo local.
Concavidade para cima em .
Concavidade para baixo em .
Pontos de inflexão em e
, ou seja,
e
.
Nenhum máximo local.
Concavidade para cima em
Concavidade para baixo em
Pontos de inflexão em