Determine os extremos locais de f usando o teste da derivada segunda quando aplicável. Ache os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo, e determine as coordena-das- x dos pontos de inflexão. Faça o gráfico de f.
f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}+6

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre os extremos locais de f(x)=3x^4-4x^3+6 usando o teste da derivada segunda, depois determine onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo (isto é, o sinal de f''(x)) e ache as abscissas dos pontos de inflexão (onde f''(x)=0 e muda de sinal). Por fim, devemos esboçar o formato geral do gráfico de f. Para isso vamos precisar calcular f'(x), f''(x), resolver equações e analisar sinais.

Passo 2

Calcular as derivadas de primeira e segunda ordem.
Para f(x)=3x^4-4x^3+6 temos
f'(x)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12x^2(x-1)\bigr) =24x(x-1)+12x^2 =36x^2-24x =12x(3x-2).

Passo 3

Encontrar pontos críticos e classificar extremos.
Resolvendo f'(x)=0:
12x^2(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\\ (\text{duas vezes}),\quad x=1.
Avaliação de f'' nesses pontos: \;f''(0)=12\cdot0\cdot(3\cdot0-2)=0, teste inconclusivo. \;f''(1)=12\cdot1\cdot(3\cdot1-2)=12>0, indica mínimo local em x=1.
Como f'(x) tem fator x^2 em 0, seu sinal não muda em x=0 (a derivada permanece negativa de ambos os lados), logo não há extremo em x=0.
O único extremo local é, portanto, um mínimo em x=1.
O valor é
f(1)=3-4+6=5,
isto é, mínimo local em (1,5).

Passo 4

Determinar intervalos de concavidade pelo sinal de f''(x)=12x(3x-2).
As raízes são x=0 e x=\tfrac{2}{3}. Montando o sinal:
  • Para x<0: x<0 e 3x-2<0 f''(x)>0 (côncavo para cima).
  • Para 0<x<\tfrac{2}{3}: x>0 e 3x-2<0 f''(x)<0 (côncavo para baixo).
  • Para x>\tfrac{2}{3}: x>0 e 3x-2>0 f''(x)>0 (côncavo para cima).

Passo 5

Pontos de inflexão são onde f''(x)=0 e há troca de concavidade.
Isso ocorre em x=0 e x=\tfrac{2}{3}.
As coordenadas são
f(0)=6, \qquad f\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr) =3\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^4 -4\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^3+6 =\tfrac{146}{27}\approx5{,}407.

Passo 6

Esboço do gráfico de f:
- Como f'(x)<0 para x<1, f decresce desde +\infty (em x\to-\infty) até o mínimo em (1,5), depois cresce para +\infty (em x\to+\infty).
- Há inflexão em (0,6), trocando de côncavo para cima (à esquerda) para côncavo para baixo (à direita).
- Há nova inflexão em \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{146}{27}\bigr), trocando de côncavo para baixo para côncavo para cima antes de atingir o mínimo em (1,5).
O esboço mostra um “U” amplo à esquerda, achatamento e concavidade para baixo entre 0 e \tfrac{2}{3}, depois retomada da concavidade para cima até o mínimo em x=1, e então crescimento.

Resposta

Extremo local: mínimo em (1,5).
Nenhum máximo local.
Concavidade para cima em (-\infty,0)\cup\bigl(\tfrac{2}{3},\infty\bigr).
Concavidade para baixo em \bigl(0,\tfrac{2}{3}\bigr).
Pontos de inflexão em x=0 e x=\tfrac{2}{3}, ou seja, \,(0,6) e \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{146}{27}\bigr).

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