Determine o MDC e o MMC dos grupos de polinômios.
5.12
6 x-6 y=2 3(x-y), 4 x^2-4 y^2=2^2(x^2-y^2)=2^2(x+y)(x-y)
MDC=2(x-y), MMC =2^2 3(x+y)(x-y)

Passo 1

Vamos encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) dos polinômios dados usando fatoração e depois aplicando as definições de MDC e MMC para polinômios.

Passo 2

Fatoramos o primeiro polinômio:
6x - 6y = 6(x - y) = 6 cdot (x - y)
E o segundo polinômio:
4x^2 - 4y^2 = 4(x^2 - y^2) = 4(x - y)(x + y) = 2^2 ,(x - y)(x + y)

Passo 3

Para obter o MDC de dois polinômios, pegamos cada fator comum elevado ao menor expoente em que aparece. Aqui os fatores são:
– O fator 2 aparece com expoente 1 em 6x-6y e expoente 2 em 4x^2-4y^2, então o menor expoente é 1.
– O fator 3 aparece apenas em 6x-6y, não é comum.
– O fator (x - y) aparece em ambos com expoente 1.
Logo,
MDC = 2,(x - y)

Passo 4

Para obter o MMC de dois polinômios, pegamos cada fator que aparece em pelo menos um deles elevado ao maior expoente em que aparece. Aqui os fatores são:
– O fator 2 aparece com maior expoente 2.
– O fator 3 aparece com expoente 1.
– O fator (x - y) aparece com expoente 1.
– O fator (x + y) aparece com expoente 1.
Logo,
MMC = 2^2 cdot 3 ,(x - y)(x + y) = 12,(x - y)(x + y)

Resposta

MDC = 2(x - y), MMC = 12(x - y)(x + y)

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