Determine o MDC e o MMC dos grupos de polinômios.
5.19
x^5-x, x^5-x^2, x^5-x^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) dos polinômios x^5 - x, x^5 - x^2 e x^5 - x^3. O conteúdo principal é fatoração de polinômios e uso das definições de MDC e MMC em K[x].

Passo 2

Para aplicar as definições, o primeiro passo é fatorar cada polinômio em fatores irreducíveis. Vamos fazer isso separadamente:
Fatoração de x^5 - x:
x^5 - x = x(x^4 - 1) = x(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x(x-1)(x+1)(x^2 + 1)
Fatoração de x^5 - x^2:
x^5 - x^2 = x^2(x^3 - 1) = x^2(x-1)(x^2 + x + 1)
Fatoração de x^5 - x^3:
x^5 - x^3 = x^3(x^2 - 1) = x^3(x-1)(x+1)

Passo 3

O MDC é o produto dos fatores comuns a todos com o menor expoente que aparecem em cada um. Observando as fatorações: o fator x aparece nas potências x^1, x^2, x^3 – o menor expoente é 1 – e o fator x-1 aparece em todos com expoente 1. Não há outro fator comum a todos os três polinômios.
Logo, o MDC é:
gcd = x^1 cdot (x-1) = x(x-1)

Passo 4

O MMC é o produto de todos os fatores que aparecem em pelo menos um dos polinômios, elevando-os ao maior expoente com que surgem. Dos fatores irreducíveis temos:
  • x com maior expoente 3,
  • x-1 com expoente 1,
  • x+1 com expoente 1,
  • x^2+1 com expoente 1,
  • x^2+x+1 com expoente 1.
    Portanto, o MMC é:
lcm = x^3 cdot (x-1) cdot (x+1) cdot (x^2+1) cdot (x^2+x+1)

Resposta

MDC = x(x-1)
MMC = x3(x-1)(x+1)(x2+1)(x^2+x+1)

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