Determine o MDC e o MMC dos grupos de polinômios.
5.19
5.19
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) dos polinômios
,
e
. O conteúdo principal é fatoração de polinômios e uso das definições de MDC e MMC em
.
Passo 2
Para aplicar as definições, o primeiro passo é fatorar cada polinômio em fatores irreducíveis. Vamos fazer isso separadamente:
Fatoração de
:
Fatoração de
:
Fatoração de
:
Passo 3
O MDC é o produto dos fatores comuns a todos com o menor expoente que aparecem em cada um. Observando as fatorações: o fator
aparece nas potências
– o menor expoente é 1 – e o fator
aparece em todos com expoente 1. Não há outro fator comum a todos os três polinômios.
Logo, o MDC é:
Logo, o MDC é:
Passo 4
O MMC é o produto de todos os fatores que aparecem em pelo menos um dos polinômios, elevando-os ao maior expoente com que surgem. Dos fatores irreducíveis temos:
-
com maior expoente 3, -
com expoente 1, -
com expoente 1, -
com expoente 1, -
com expoente 1.
Portanto, o MMC é:
Resposta
MDC = x(x-1)
MMC = x3(x-1)(x+1)(x2+1)(x^2+x+1)
MMC = x3(x-1)(x+1)(x2+1)(x^2+x+1)