Determine o MDC e o MMC dos grupos de polinômios.
5.12
3 5^2(x+3 y)^2(2 x-y)^4, 2^3 3^2 5(x+3 y)^3(2 x-y)^2, 2^2 3 5(x+3 y)^4(2 x-y)^5
MDC=3 5(x+3 y)^2(2 x-y)^2, MMC=2^3 3^2 5^2(x+3 y)^4(2 x-y)^5

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos três polinômios já fatores em números e fatores lineares em (x+3y) e (2x−y):
P1 = 3cdot 5^2,(x+3y)^2,(2x-y)^4,
P2 = 2^3cdot 3^2cdot 5,(x+3y)^3,(2x-y)^2,
P3 = 2^2cdot 3cdot 5,(x+3y)^4,(2x-y)^5
O objetivo é achar o MDC (menor expoente de cada fator comum) e o MMC (maior expoente de cada fator comum).

Passo 2

Para o bloco numérico do MDC, analisamos os expoentes dos primos 2, 3 e 5 em P₁, P₂ e P₃:
  • Fator 2: expoentes em (P₁,P₂,P₃) = (0,3,2) → mínimo = 0
  • Fator 3: expoentes em (P₁,P₂,P₃) = (1,2,1) → mínimo = 1
  • Fator 5: expoentes em (P₁,P₂,P₃) = (2,1,1) → mínimo = 1
Logo, a parte numérica do MDC é 2^0cdot3^1cdot5^1 = 3cdot5.

Passo 3

Para os fatores polinomiais, examinamos os expoentes de (x+3y) e (2x−y):
  • (x+3y): expoentes = (2,3,4) → mínimo = 2, máximo = 4
  • (2x-y): expoentes = (4,2,5) → mínimo = 2, máximo = 5
Isso dá para o MDC a parte polinomial (x+3y)^2(2x-y)^2 e para o MMC (x+3y)^4(2x-y)^5.

Passo 4

Agora montamos MDC e MMC juntando as partes numérica e polinomial:
MDC = 3cdot5,(x+3y)^2(2x-y)^2,
MMC = 2^3cdot3^2cdot5^2,(x+3y)^4(2x-y)^5

Resposta

MDC = 3cdot5,(x+3y)^2(2x-y)^2,
MMC = 2^3cdot3^2cdot5^2,(x+3y)^4(2x-y)^5

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