Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
(8 \ln \left|5 x{2}-1\right|{3})

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x) = 8 \,\ln\bigl|5x^{2}-1\bigr|^{3}
e pede f'(x). O conteúdo principal aqui é a derivada de \ln com a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicamos a propriedade dos logaritmos
\ln\bigl|5x^{2}-1\bigr|^{3} = 3\,\ln\bigl|5x^{2}-1\bigr|.
Assim,
f(x) = 8 \times 3\,\ln\bigl|5x^{2}-1\bigr| = 24\,\ln\bigl|5x^{2}-1\bigr|.

Passo 3

Para derivar f(x)=24\,\ln\bigl|5x^{2}-1\bigr|, usamos
\frac{d}{dx}\ln\bigl|u(x)\bigr| = \frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=5x^{2}-1 e u'(x)=10x. Então
f'(x) = 24 \times \frac{10x}{5x^{2}-1} = \frac{240\,x}{5x^{2}-1}.

Resposta

f'(x) = \frac{240\,x}{5x^{2}-1}.

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