Determine o simétrico da reta x-2 y+4=0 em relação ao ponto de interseção das retas x-y=0 e 2 x-y=3.

Passo 1

A questão pede o simétrico da reta x - 2y + 4 = 0 em relação ao ponto de interseção de x - y = 0 e 2x - y = 3. O conteúdo aqui é simetria central de uma reta, e vamos precisar (1) encontrar o ponto de interseção, (2) entender a definição de simetria central aplicada a retas e (3) usar essa fórmula para obter a reta refletida.

Passo 2

Para achar o ponto de interseção, resolvemos o sistema:
x - y = 0, 2x - y = 3
Da primeira equação vem x = y. Substituindo na segunda:
2y - y = 3 implies y = 3 implies x = 3
Logo, o ponto de interseção é P = (3,3).

Passo 3

Na simetria central em relação ao ponto P=(a,b), a reta original Ax + By + C = 0 reflete-se numa reta paralela cuja equação pode ser obtida avaliando-se
f'(x,y) = A(2a - x) + B(2b - y) + C = 0
Isso resulta em
-l(Ax + Byr) + 2l(Aa + Bbr) + C = 0
Assim garantimos que cada ponto da reta original vai para o ponto oposto em relação a P.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: aqui A=1, B=-2 e C=4, e (a,b)=(3,3). Calculamos
2(Aa + Bb) + C = 2(1cdot3 + (-2)cdot3) + 4 = 2(3 - 6) + 4 = -6 + 4 = -2
Logo a equação refletida fica:
-l(x - 2yr) - 2 = 0 implies -x + 2y - 2 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar, obtemos
x - 2y + 2 = 0

Resposta

x - 2y + 2 = 0

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