1. Encontre uma base para o conjunto de todos os vetores da forma
    \left[\begin{array}{c}a-2 b+5 c \\\\ 2 a+5 b-8 c \\\\ -a-4 b+7 c \\\\ 3 a+b+c\end{array}\right] . \quad (Tenha cuidado.)

Passo 1

O enunciado pede uma base para o conjunto de todos os vetores de forma
\begin{pmatrix} a - 2b + 5c \\[6pt] 2a + 5b - 8c \\[6pt] -\,a - 4b + 7c \\[3pt] 3a + b + c \end{pmatrix}.
O conteúdo é subespaço de \mathbb{R}^4 gerado por três vetores, então vamos usar combinação linear e verificar independência para extrair uma base.]

Passo 2

Escrevendo esse vetor como combinação de três vetores fixos, temos
v = a\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}-2\\\ 5\\\ -4\\\ 1\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}5\\\ -8\\\ 7\\\ 1\end{pmatrix}.
Definimos
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}-2\\\ 5\\\ -4\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}5\\\ -8\\\ 7\\\ 1\end{pmatrix},
de modo que o subespaço é \Span\{v_1,v_2,v_3\}.

Passo 3

Para identificar quais desses vetores são independentes, montamos a matriz 4\times3 com colunas v_1,v_2,v_3 e aplicamos eliminação de Gauss:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5\\\\ 2 & 5 & -8\\\\ -1 & -4 & 7\\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Fazendo
R_2\to R_2-2R_1,\quad R_3\to R_3+R_1,\quad R_4\to R_4-3R_1
obtemos
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5\\\\ 0 & 9 & -18\\\\ 0 & -6 & 12\\\\ 0 & 7 & -14 \end{pmatrix}.
Em seguida
R_3\to R_3+\tfrac{2}{3}R_2,\quad R_4\to R_4-\tfrac{7}{9}R_2
leva às duas últimas linhas nulas, mostrando que o posto é 2.

Passo 4

Como há pivôs na primeira e na segunda colunas, os vetores v_1 e v_2 são independentes e geram todo o subespaço. Logo, uma base é dada por \{v_1,v_2\}.

Resposta

\Bigl\{ \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\\\ 5\\\ -4\\\ 1\end{pmatrix} \Bigr\}.

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