Encontre uma base para o conjunto de todos os vetores da forma \left[\begin{array}{c}a-2 b+5 c \\\\ 2 a+5 b-8 c \\\\ -a-4 b+7 c \\\\ 3 a+b+c\end{array}\right] . \quad (Tenha cuidado.)
Passo 1
O enunciado pede uma base para o conjunto de todos os vetores de forma
\begin{pmatrix} a - 2b + 5c \\[6pt] 2a + 5b - 8c \\[6pt] -\,a - 4b + 7c \\[3pt] 3a + b + c \end{pmatrix}.
O conteúdo é subespaço de \mathbb{R}^4 gerado por três vetores, então vamos usar combinação linear e verificar independência para extrair uma base.]
Passo 2
Escrevendo esse vetor como combinação de três vetores fixos, temos
leva às duas últimas linhas nulas, mostrando que o posto é 2.
Passo 4
Como há pivôs na primeira e na segunda colunas, os vetores v_1 e v_2 são independentes e geram todo o subespaço. Logo, uma base é dada por \{v_1,v_2\}.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - David C. Lay - Álgebra Linear e suas Aplicações - 5ª Edição - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 4.Exercícios suplementares 2