Encontre a melhor aproximação por mínimos quadrados para
em
com relação ao produto interno
Passo 1
O enunciado pede a aproximação por mínimos quadrados de
em
pelo espaço dos polinômios de grau
, usando o produto interno
Para isso, vamos projetar
na base ortogonal de Legendre
em
.
Passo 2
As três primeiras funções de Legendre (não normalizadas) são
e satisfazem
A projeção de
em
é
Passo 3
Calcular os coeficientes
:
-
-
Integramos por partes:
,
logoEntão -
Chamando, temos e portanto Assim e
Passo 4
A melhor aproximação de grau
é
Substituindo
,
,
e os
obtidos,