Encontre a melhor aproximação por mínimos quadrados para e^x em [-1,1] com relação ao produto interno
lang<= f, grang<==integral-1^1 f(x) g(x) d x

Passo 1

O enunciado pede a aproximação por mínimos quadrados de exp(x) em [-1,1] pelo espaço dos polinômios de grau <=2, usando o produto interno
lang<= f,grang<==integral-1^1f(x),g(x),dx
Para isso, vamos projetar exp(x) na base ortogonal de Legendre P0,P1,P2 em [-1,1].

Passo 2

As três primeiras funções de Legendre (não normalizadas) são
P0(x)=1, P1(x)=x, P2(x)=tfrac12(3x^2-1),
e satisfazem
integral-1^1Pi(x),Pj(x),dx=0(ineq j), integral-1^1Pk(x)^2,dx=22k+1
A projeção de exp(x) em Pk é
ak=lang<= exp(x),Pkrang<=lang<= Pk,Pkrang<= =2k+12integral-1^1e^x,Pk(x),dx

Passo 3

Calcular os coeficientes a0,a1,a2:
  1. a0=12integral-1^1e^x,dx =12l[e^xr]-1^1 =e-e^-12
  2. a1=32integral-1^1x,e^x,dx
    Integramos por partes:
    integral x e^x,dx=x e^x -e^x,
    logo integral-1^1x,e^x,dx =l[x e^x - e^xr]-1^1 =(e-e)-( -e^-1-e^-1) =2e^-1 Então a1=32cdot2e=3e
  3. a2=52integral-1^1tfrac12(3x^2-1),e^x,dx =54integral-1^1(3x^2-1)e^x,dx
    Chamando J=integral-1^1(3x^2-1)e^x,dx, temos integral x^2 e^x,dx =e^x(x^2-2x+2) e portanto integral-1^1x^2e^x,dx =l[e^x(x^2-2x+2)r]-1^1 =e - 5e =e^2-5e Assim J=3e^2-5e-l(e-tfrac1er) =3e^2-15-(e^2-1)e =2e^2-14e =2e-14e, e a2=54l(2e-14er) =5e2-352e

Passo 4

A melhor aproximação de grau <=2 é
p2(x)=a0P0(x)+a1P1(x)+a2P2(x)
Substituindo P0=1, P1=x, P2=tfrac12(3x^2-1) e os ak obtidos,
p2(x) =e-e^-12 +3e,x +l(5e2-352er)3x^2-12

Resposta

p2(x) =e-e^-12 +3e,x +l(5e2-352er)3x^2-12

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