Encontre os pontos de interseção dos círculos com equações
x^2+y^2-2 x=0 e x^2+y^2-3 y=0

Passo 1

Temos como objetivo encontrar os pontos de interseção do sistema formado pelas circunferências x^2+y^2-2x=0 e x^2+y^2-3y=0. O conteúdo é interseção de círculos, e vamos precisar: completar quadrados para identificar centros e raios; subtrair equações para eliminar termos quadráticos; resolver a equação resultante e substituir de volta.

Passo 2

Para identificar centros e raios, completamos quadrados:
x^2-2x+y^2=0 implies (x-1)^2+y^2=1,
logo centro (1,0), raio 1.
x^2+y^2-3y=0 implies x^2+(y-tfrac32)^2=tfrac94,
logo centro (0,tfrac32), raio tfrac32.

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira, eliminamos x^2+y^2:
(x^2+y^2-2x)-(x^2+y^2-3y)=0 implies -2x+3y=0
Daí obtemos a reta 3y=2x ou y=tfrac23x.

Passo 4

Substituímos y=tfrac23x na primeira equação x^2+y^2-2x=0:
x^2+l(tfrac23xr)^2-2x=0 implies x^2+tfrac49x^2-2x=0 implies tfrac139x^2-2x=0
Multiplicando por 9: 13x^2-18x=0 implies x(13x-18)=0. Assim x=0 ou x=tfrac1813.

Passo 5

Para cada x, calculamos y=tfrac23x:
  • Se x=0, então y=0.
  • Se x=tfrac1813, então y=tfrac23cdot tfrac1813=tfrac3639=tfrac1213

Resposta

(0,0) e (tfrac1813,tfrac1213)

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