Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são círculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto.
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Passo 1

Temos o subconjunto S=(x,y)mid x^2+y^2-4x+6y+9=0. O conteúdo aqui é geometria analítica de círculos: queremos ver se a equação se ajusta ao formato canônico de um círculo, que é (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. A ferramenta principal será completar o quadrado nas variáveis x e y.

Passo 2

Começamos agrupando termos de x e y na equação
x^2-4x+y^2+6y+9=0
Para completar o quadrado em x^2-4x, lembramos que
(x-h)^2=x^2-2h x+h^2
Aqui o coeficiente linear é -4, então queremos -2h=-4 h=2. Assim
x^2-4x=(x-2)^2-4
De modo análogo, em y^2+6y o coeficiente linear é 6, logo 2h=6 h=3, e
y^2+6y=(y+3)^2-9
Substituindo essas expressões na equação original, fica
(x-2)^2-4+(y+3)^2-9+9=0
Reunindo constantes, obtemos
(x-2)^2+(y+3)^2-4=0

Passo 3

Isolando os quadrados, chegamos à forma canônica
(x-2)^2+(y+3)^2=4,
o que mostra claramente que S é um círculo com centro C=(2,-3) e raio r=raiz4=2.

Resposta

É um círculo de centro C=(2,-3) e raio r=2.

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