Esboce um diagrama mostrando que 2(\mathbf{u}+\mathbf{v})=2 \mathbf{u}+2 \mathbf{v}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar geometricamente que a multiplicação escalar distribui sobre a soma de vetores, ou seja,
2(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \;=\; 2\,\mathbf{u} + 2\,\mathbf{v}.
Para isso vamos desenhar vetores em um plano, seguir os passos de soma e escala e comparar os resultados.

Passo 2

Escolhemos convenientemente coordenadas para facilitar o desenho. Seja
\mathbf{u} = (1,0),\quad \mathbf{v} = (0,1).
Então
\mathbf{u} + \mathbf{v} = (1,1).

Passo 3

Escalamos o vetor \mathbf{u} + \mathbf{v} por 2. Como \mathbf{u}+\mathbf{v}=(1,1), temos
2(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = (2,2).
No diagrama, a partir da origem O=(0,0) desenhamos o vetor até o ponto X=(2,2).

Passo 4

Agora escalamos separadamente:
2\,\mathbf{u} = (2,0),\quad 2\,\mathbf{v} = (0,2).
Em seguida somamos esses dois vetores pelo método do paralelogramo:
2\,\mathbf{u} + 2\,\mathbf{v} = (2,2).
No diagrama, construímos o paralelogramo partindo de O até Y=(2,0) e de Y até T=(2,2), ou equivalente partindo de O até Z=(0,2) e de Z até T.

Passo 5

Comparando as duas construções, vemos que ambos os vetores terminam no mesmo ponto T=X=(2,2). Logo, graficamente,
2(\mathbf{u}+\mathbf{v}) \quad\text{e}\quad 2\,\mathbf{u} + 2\,\mathbf{v}
têm mesma direção e mesmo comprimento, provando a igualdade.

Resposta

Esboço no plano xy (origem O):
\begin{array}{l} O = (0,0),\quad U = (1,0),\quad V = (0,1),\quad W = U+V = (1,1),\\\ X = 2W = (2,2),\quad Y = 2U = (2,0),\quad Z = 2V = (0,2),\quad T = Y+Z = (2,2). \end{array}
Diagrama aproximado (ASCII):
 y
 ↑
 |
 Z(0,2) * 
 | \
 | \
 W(1,1)*---* T/X(2,2)
 | |
 | |
 O(0,0)*---* Y(2,0) → x
 U(1,0)
Neste desenho, o vetor O\to X é 2(\mathbf{u}+\mathbf{v}) e o vetor O\to T é 2\mathbf{u}+2\mathbf{v}. Como T=X, fica claro que
2(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = 2\,\mathbf{u} + 2\,\mathbf{v}.

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