Exercício 4.32 Mostre que o espaço vetorial real R^3 é isomorfo ao espaço vetorial real M3 times 1(R), exibindo um isomorfismo T de R^3 em M3 times 1(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os espaços vetoriais reais R^3 e M3times1(R) são isomorfos, ou seja, existe uma aplicação TcolonR^3to M3times1(R) que é linear e bijetiva. Vamos usar a definição de isomorfismo de espaços vetoriais: um isomorfismo é uma transformação linear que é injetora e sobrejetora.

Passo 2

Definimos T mapeando cada vetor em R^3 para a coluna correspondente em M3times1(R). Ou seja, para (x,y,z)inR^3 definimos
Tl((x,y,z)r) = x y z

Passo 3

Verificamos que é linear. Sejam e em e . Então
e

Passo 4

Mostramos que é injetora. Se em , então
logo e . Assim, o núcleo de é trivial, e é injetora.

Passo 5

Mostramos que é sobrejetora. Dado qualquer
basta escolher . Então
logo todo elemento de tem um antimagem em .

Passo 6

Como T é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que T é um isomorfismo de R^3 em M3times1(R).

Resposta

Definindo
Tl((x,y,z)r) = x y z ,
obtemos um isomorfismo entre R^3 e M3times1(R).

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