Exercício 4.32 Mostre que o espaço vetorial real é isomorfo ao espaço vetorial real , exibindo um isomorfismo de em .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os espaços vetoriais reais e são isomorfos, ou seja, existe uma aplicação que é linear e bijetiva. Vamos usar a definição de isomorfismo de espaços vetoriais: um isomorfismo é uma transformação linear que é injetora e sobrejetora.
Passo 2
Definimos mapeando cada vetor em para a coluna correspondente em . Ou seja, para definimos
Passo 3
Verificamos que é linear. Sejam e em e . Então
e
Passo 4
Mostramos que é injetora. Se em , então
logo e . Assim, o núcleo de é trivial, e é injetora.
Passo 5
Mostramos que é sobrejetora. Dado qualquer
basta escolher . Então
logo todo elemento de tem um antimagem em .
Passo 6
Como T é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que T é um isomorfismo de R^3 em M3times1(R).
Resposta
Definindo
Tl((x,y,z)r) = x y z ,
obtemos um isomorfismo entre R^3 e M3times1(R).
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Petronio Pulino - Álgebra Linear e suas Aplicações - 1ª Edição - Capítulo 4.4.5 - Ex. 4.32