Exercício 4.33 Mostre que
como um espaço vetorial real é isomorfo ao espaço vetorial real
, exibindo um isomorfismo
de
em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial real
é isomorfo ao espaço vetorial real
. Isso significa construir uma transformação
que seja linear sobre
e bijetora. Observamos que ambos têm dimensão real 4, mas vamos exibir um isomorfismo explícito.
Passo 2
Seja
. Escrevemos
com
. Assim todo vetor de
é determinado pelos quatro reais
.
Passo 3
Definimos
enviando
na matriz cujas entradas são essas partes reais e imaginárias:
Passo 4
Verificamos que
é linear sobre
: dado
e
,
que coincide com
A bijetividade fica clara ao construir a inversa
que leva cada matriz de volta a um par de complexos. Logo
é um isomorfismo.
Resposta
com inversa