Exercício 4.33 Mostre que C^2 como um espaço vetorial real é isomorfo ao espaço vetorial real M2(R), exibindo um isomorfismo T de C^2 em M2(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial real C^2 é isomorfo ao espaço vetorial real M2(R). Isso significa construir uma transformação Tcolon C^2to M2(R) que seja linear sobre R e bijetora. Observamos que ambos têm dimensão real 4, mas vamos exibir um isomorfismo explícito.

Passo 2

Seja (z1,z2)inC^2. Escrevemos
z1=x1+i,y1, z2=x2+i,y2,
com x1,y1,x2,y2inR. Assim todo vetor de C^2 é determinado pelos quatro reais x1,y1,x2,y2.

Passo 3

Definimos T enviando (z1,z2) na matriz cujas entradas são essas partes reais e imaginárias:
Tl((z1,z2)r) = x1 & x2 y1 & y2 = Re(z1) & Re(z2) Im(z1) & Im(z2)

Passo 4

Verificamos que é linear sobre : dado e ,
que coincide com
A bijetividade fica clara ao construir a inversa
que leva cada matriz de volta a um par de complexos. Logo é um isomorfismo.

Resposta

com inversa

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