Exercício 26.2. Mostre a seguinte propriedade da convolução: se D denota a diferenciação em relação a x, vale a regra do produto:
D(f * g)=(D f) * g+f *(D g)

Passo 1

O enunciado pede para provar que a diferenciação em relação a x, denotada por D, satisfaz a “regra do produto” quando aplicada ao produto de duas funções f e g. Em fórmulas, devemos mostrar que
Dl(f * gr) ;=; (D f),*g ;+; f*l(D gr)
Vamos usar a definição de derivada como limite do quociente incremental e a continuidade de f e g.

Passo 2

Começamos pela definição de derivada do produto h(x)=f(x),g(x):
Dl(f * gr)(x) =limhto0h(x+h)-h(x)h =limhto0f(x+h),g(x+h)-f(x),g(x)h

Passo 3

Para separar as contribuições de f e de g, somamos e subtraímos o termo f(x+h),g(x) no numerador:
f(x+h),g(x+h)-f(x),g(x) =l[f(x+h),g(x+h)-f(x+h),g(x)r] +l[f(x+h),g(x)-f(x),g(x)r]

Passo 4

Reescrevendo cada parcela do numerador:
f(x+h),g(x+h)-f(x+h),g(x) = f(x+h),l[g(x+h)-g(x)r],
f(x+h),g(x)-f(x),g(x) = l[f(x+h)-f(x)r],g(x)

Passo 5

Dividindo tudo por h e voltando ao limite, obtemos
f(x+h),g(x+h)-f(x),g(x)h = f(x+h),g(x+h)-g(x)h + f(x+h)-f(x)h,g(x)
Como f e g são contínuas e diferenciáveis, quando hto0 vale
limhto0f(x+h),g(x+h)-g(x)h = f(x),Dg(x), limhto0f(x+h)-f(x)h,g(x) = Df(x),g(x)

Passo 6

Somando as duas parcelas do limite, concluímos
Dl(f * gr)(x) = Df(x),g(x);+;f(x),Dg(x),
que em notação de convolução (ou de “produto” indicado por *) fica
Dl(f * gr) = (D f),*g ;+; f*l(D gr)

Resposta

Está demonstrado que
D(f * g) ;=; (D f),*g ;+; f*l(D gr)

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