Exercício 26.2. Mostre a seguinte propriedade da convolução: se
denota a diferenciação em relação a
, vale a regra do produto:
Passo 1
O enunciado pede para provar que a diferenciação em relação a
, denotada por
, satisfaz a “regra do produto” quando aplicada ao produto de duas funções
e
. Em fórmulas, devemos mostrar que
Vamos usar a definição de derivada como limite do quociente incremental e a continuidade de
e
.
Passo 2
Começamos pela definição de derivada do produto
:
Passo 3
Para separar as contribuições de
e de
, somamos e subtraímos o termo
no numerador:
Passo 4
Reescrevendo cada parcela do numerador:
Passo 5
Dividindo tudo por
e voltando ao limite, obtemos
Como
e
são contínuas e diferenciáveis, quando
vale
Passo 6
Somando as duas parcelas do limite, concluímos
que em notação de convolução (ou de “produto” indicado por
) fica
Resposta
Está demonstrado que