Nos Exercícios de 1 a 9, formule matematicamente cada um dos problemas de programação linear.
Uma empresa de coleta de lixo industrial leva o lixo em recipientes selados em sua frota de caminhões. Suponha que cada recipiente da empresa Silva pese 3 quilos e tem volume de 8400 centímetros cúbicos, enquanto o recipiente da empresa Souza pesa 6 quilos e tem volume de 2800 centímetros cúbicos. A empresa cobra, por recipiente, 30 centavos da empresa Silva e 60 centavos da empresa Souza. Se um caminhão não pode transportar mais do que 9000 quilogramas nem mais de 5,04 metros cúbicos (isto é, 5,04 \times 10^{6} \mathrm{~cm}^{3} ), quantos recipientes de cada cliente a empresa deve levar em cada caminhão para maximizar a receita por viagem?

Passo 1

O enunciado descreve dois tipos de recipientes que uma empresa de coleta carrega num caminhão, cada tipo com peso, volume e receita distintos. Queremos decidir quantos de cada tipo levar para maximizar a receita total, respeitando limites de peso e volume do caminhão. O conteúdo aqui é programação linear com duas variáveis.

Passo 2

Definimos as variáveis \;x= número de recipientes da empresa Silva, \;y= número de recipientes da empresa Souza.
O objetivo é maximizar a receita
R=0,3\,x + 0,6\,y.
As restrições são
3\,x + 6\,y \le 9000
8400\,x + 2800\,y \le 5,04\times 10^{6}
x \ge 0,\quad y \ge 0.

Passo 3

Encontramos os vértices da região viável:
  1. Interseção dos eixos:
(x,y)=(0,0)\). 2. Eixo \(x\) (definindo \(y=0\)): de \(3x\le9000\) vem \(x=3000\), mas de \(8400x\le5{,}04\!\times10^{6}\) vem \(x=600\). O mais restritivo é \(x=600\), ponto \((600,0)\). 3. Eixo \(y\) (definindo \(x=0\)): de \(6y\le9000\) vem \(y=1500\), de \(2800y\le5{,}04\!\times10^{6}\) vem \(y=1800\). O mais restritivo é \(y=1500\), ponto \((0,1500)\). 4. Interseção das duas retas de capacidade: resolvemos \[\begin{cases} 3x + 6y = 9000,\\\\ 8400x + 2800y = 5{,}04\times10^{6}. \end{cases}
A segunda reduz a 3x + y = 1800\]. Substituindo em \(x+2y=3000 (da primeira) obtém-se
x=120,\quad y=1440.

Passo 4

Calculamos R em cada vértice:
R(0,0)=0, \quad R(600,0)=0,3\cdot600=180, \quad R(0,1500)=0,6\cdot1500=900, \quad R(120,1440)=0,3\cdot120+0,6\cdot1440=36+864=900.
O valor máximo de receita é 900 (reais) e ocorre em (0,1500) e em (120,1440). Como ambas dão a mesma receita, podemos escolher a opção mais simples: só recipientes de Souza.

Resposta

x=0 recipientes da empresa Silva e y=1500 recipientes da empresa Souza.

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