Nos Exercícios de 1 a 9, formule matematicamente cada um dos problemas de programação linear.
Um produtor de televisão desenvolve um programa com base em um comediante e tempo para comerciais. O anunciante insiste que pelo menos 2 minutos sejam de comerciais, a emissora insiste que o tempo para anúncios não deve exceder 4 minutos e o comediante insiste que pelo menos 24 minutos deverão ser reservados ao programa humorístico. Além disso, o tempo total reservado para o programa e anúncios não pode exceder 30 minutos. Se foi verificado que cada minuto de comercial (muito criativo) atrai 40.000 espectadores e que cada minuto do programa humorístico atrai 45.000 espectadores, como deve ser dividido o tempo entre os comerciais e a programação para maximizar o número de espectadores por minuto?

Passo 1

O enunciado trata de um problema de Programação Linear em que precisamos dividir um total de até 30 minutos entre comerciais e programa humorístico de modo a maximizar o número total de espectadores atraídos. As informações-chave são tempos mínimos e máximos para cada parte e a audiência por minuto de cada uma.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão:
x = \text{número de minutos dedicados aos comerciais},ú
y = \text{número de minutos dedicados ao programa humorístico}.úí
O objetivo é maximizar o número total de espectadores atraídos. Como cada minuto de comercial atrai 40000 espectadores e cada minuto de programa humorístico atrai 45000 espectadores, a função objetivo fica:
\text{Maximizar }Z = 40000\,x + 45000\,y.

Passo 3

As restrições de tempo impostas pelo enunciado são:
x \ge 2 \quad(\text{pelo menos 2 min de comerciais}),
x \le 4 \quad(\text{no máximo 4 min de comerciais}),á
y \ge 24 \quad(\text{pelo menos 24 min de programa}),
x + y \le 30 \quad(\text{tempo total não excede 30 min}),ã
x \ge 0,\quad y \ge 0.
A região viável é um polígono convexo cujos vértices correspondem às combinações extremas de (x,y). Como o coeficiente de y na função objetivo 45000 é maior que o de x 40000, para maximizar Z convém usar o máximo de y e o mínimo de x. O menor valor permitido para x é 2, o que, junto com x+y=30, dá y=28. Verificando todas as restrições, esse ponto está dentro da região viável e, por inspeção dos vértices, é o ótimo.

Resposta

x=2 minutos de comerciais e y=28 minutos de programa humorístico.

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