Exprime as seguintes formas quadráticas na notação matricial mathbfx^T A x, onde A é uma matriz simétrica.
(c) x1 x2+x1 x3+x2 x3

Passo 1

O enunciado pede para escrever a forma quadrática
x1x2+x1x3+x2x3
na notação matricial x^TAx, onde x=(x1,x2,x3)^T e A deve ser simétrica. O conteúdo aqui é representar um polinômio quadrático sem termos ao quadrado como x^TA x.

Passo 2

Lembrando que, para uma matriz simétrica A=(aij), vale
x^TAx =sumi=1^3aiixi^2 +2sum1<= i<j<=3aijxixj
No nosso caso não há termos xi^2, logo devemos ter a11=a22=a33=0. Os termos cruzados xixj aparecem com coeficiente 1, portanto para cada i<j queremos
2aij=1 Longrightarrow aij=tfrac12

Passo 3

Como A é simétrica, definimos então
aii=0, aij=aji=tfrac12 (ineq j)
A matriz fica assim:
A = 0 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & 0 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & 0

Passo 4

Para conferir, note que
x^TAx =2l(tfrac12x1x2+tfrac12x1x3+tfrac12x2x3r) = x1x2+x1x3+x2x3,
exatamente a forma quadrática desejada.

Resposta

A = 0 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & 0 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & 0

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