Quais das seguintes são formas quadráticas?
(e) x1 x2-3 x1 x3+2 x2 x3

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
Q(x1,x2,x3) = x1x2 - 3x1x3 + 2x2x3
e pede para verificar se isso é uma forma quadrática. Lembrando que uma forma quadrática em n variáveis é um polinômio homogêneo de grau 2, que pode sempre ser escrito como
Q(x)=x^TAx
para alguma matriz simétrica AinR^ntimes n.

Passo 2

Verificamos cada termo de Q:
  • x1x2 é grau 2;
  • -3x1x3 é grau 2;
  • 2x2x3 é grau 2.
    Não há termos de grau diferente de 2, nem termos lineares ou constantes. Logo, Q é homogêneo de grau 2.

Passo 3

Para ver explicitamente a matriz simétrica A que gera Q, escrevemos
Q = sumi,j=1^3aijxixj
com aij=aji. Comparando coeficientes de xixj (com i<j), temos
a12+a21=1, a13+a31=-3, a23+a32=2
Tomando a simetria aij=aji, escolhemos
a12=a21=tfrac12, a13=a31=-tfrac32, a23=a32=1,
e todos os aii=0. Assim
A = 0 & tfrac12 & -tfrac32 tfrac12 & 0 & 1 -tfrac32 & 1 & 0 ,
e Q(x)=x^TAx.

Resposta

Sim. x1x2-3x1x3+2x2x3 é uma forma quadrática.

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