Quais das seguintes são formas quadráticas?
(g) (x1-3 x2)^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se (x1-3x2)^2 é uma forma quadrática. Lembrando que uma forma quadrática em (x1,x2) é um polinômio homogêneo de grau 2 que pode ser escrito como x^TA,x, onde x=(x1,x2)^T e A é matriz simétrica.

Passo 2

Expandimos o quadrado para ver o polinômio explícito:
(x1-3x2)^2 = x1^2 - 2cdot3,x1x2 + (3x2)^2 = x1^2 - 6x1x2 + 9x2^2

Passo 3

Observamos que todos os termos têm grau 2 e não há termos de grau diferente, logo é um polinômio homogêneo de grau 2. Isso satisfaz a definição de forma quadrática.

Passo 4

Para identificar a matriz simétrica tal que , escrevemos
Comparando coeficientes, temos , e . Logo,

Resposta

Sim. (x1-3x2)^2 é uma forma quadrática e pode ser escrita como
x^TA,x,
com
A = 1 & -3 -3 & 9

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