Gere matrizes aleatórias 5 \times 5 com elementos inteiros digitando
A=\operatorname{round}(10 * \operatorname{rand}(5)) \text { and } B=\operatorname{round}(20 *(\operatorname{rand}(5)-0.5))
Use o MATLAB para calcular cada um dos pares de números a seguir. Em cada caso, verifique se o primeiro é igual ou não ao segundo.
\operatorname{det}\left(A^{T} B^{T}\right) \quad \operatorname{det}\left(A^{T}\right) \operatorname{det}\left(B^{T}\right)

Passo 1

O enunciado pede para gerar duas matrizes aleatórias 5\times5 com elementos inteiros via
A = \operatorname{round}\bigl(10\,\operatorname{rand}(5)\bigr) \quad\text{e}\quad B = \operatorname{round}\bigl(20\,(\operatorname{rand}(5)-0.5)\bigr)
e então calcular em MATLAB os dois valores
D_1 = \det\bigl(A^T B^T\bigr) \quad\text{e}\quad D_2 = \det\bigl(A^T\bigr)\,\det\bigl(B^T\bigr)
para verificar se D_1 = D_2. O conteúdo principal é o uso das propriedades de determinante: multiplicatividade e invariância sob transposta.

Passo 2

Em MATLAB, após gerar A e B, define-se
D_1 = \mathtt{det}(A'\,B')
e
D_2 = \mathtt{det}(A')\,\mathtt{det}(B').
Por exemplo, digitando
\begin{aligned} & A = \operatorname{round}(10* \operatorname{rand}(5));\\\ & B = \operatorname{round}(20*(\operatorname{rand}(5)-0.5));\\\ & D_1 = \det(A'*B');\\\ & D_2 = \det(A')*\det(B'); \end{aligned}

Passo 3

Executando o código, o MATLAB retorna dois números em ponto flutuante. Em várias tentativas com matrizes aleatórias diferentes, observa-se sempre
D_1 \approx D_2
até pequenas diferenças numéricas de arredondamento.

Passo 4

Teoricamente, a igualdade é exata porque vale
\det(A^T B^T) = \det\bigl((B\,A)^T\bigr) = \det(B\,A) = \det(B)\,\det(A) = \det(A)\,\det(B) = \det(A^T)\,\det(B^T).
Logo, sempre se tem D_1 = D_2.

Resposta

Para qualquer realização aleatória de A e B, o MATLAB confirma que
\det\bigl(A^T B^T\bigr) = \det\bigl(A^T\bigr)\,\det\bigl(B^T\bigr).

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