Da igualdade
, deduza os seguintes critérios de divisibilidade por 7 , por 11 e por 13:
Dado
, escrito na base 10, então
é divisível por 7 , por 11 ou por 13 se e somente se
é divisível por 7 por 11 ou por 13 respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir testes de divisibilidade por 7, 11 e 13: dado um número em base 10 escrito como
, ao agrupar os dígitos em blocos de três (da direita para a esquerda) e somar/subtrair esses blocos alternadamente, o resultado ser divisível por 7, 11 ou 13 indica a divisibilidade de
por esses mesmos números. Vamos usar aritmética modular e o fato de que
.
Passo 2
Primeiro, dividimos
em blocos de três dígitos. Definimos para cada
:
Seja
. Então podemos reescrever:
Passo 3
Em seguida, usamos aritmética modular. Como
, temos para cada
:
Logo
e portanto
Passo 4
Da congruência acima segue que
é divisível por
se e somente se
Mas
é exatamente o número formado pelos três últimos dígitos
,
pelos próximos três
, e assim por diante. Portanto, o critério de divisibilidade é: formar a expressão
e verificar sua divisibilidade por 7, 11 ou 13.
Passo 5
Dessa forma concluímos que para qualquer número
em base 10, ele é divisível por 7, por 11 ou por 13 se, e somente se, o valor obtido ao agrupar dígitos em blocos de três e somá-los/subtraí-los alternadamente for divisível por 7, 11 ou 13, respectivamente.
Resposta
O número é divisível por 7, 11 ou 13 se, ao dividir seus dígitos em blocos de três (da direita para a esquerda) formando os valores
,
,
, etc., o resultado
for divisível por 7, por 11 ou por 13, respectivamente.