Da igualdade 1001=7 times 11 times 13, deduza os seguintes critérios de divisibilidade por 7 , por 11 e por 13:
Dado a=an an-1 cdots a1 a0, escrito na base 10, então a é divisível por 7 , por 11 ou por 13 se e somente se a2 a1 a0-a5 a4 a3+a8 a7 a6-cdots é divisível por 7 por 11 ou por 13 respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir testes de divisibilidade por 7, 11 e 13: dado um número em base 10 escrito como a = an an-1cdots a1 a0, ao agrupar os dígitos em blocos de três (da direita para a esquerda) e somar/subtrair esses blocos alternadamente, o resultado ser divisível por 7, 11 ou 13 indica a divisibilidade de a por esses mesmos números. Vamos usar aritmética modular e o fato de que 1001 = 7 cdot 11 cdot 13.

Passo 2

Primeiro, dividimos a em blocos de três dígitos. Definimos para cada k>=0:
Bk = 100a3k+2 + 10a3k+1 + a3k
Seja m = lfloor n/3rfloor. Então podemos reescrever:
a = sumk=0^m Bk cdot 10^3k = sumk=0^m Bk cdot 1000^k

Passo 3

Em seguida, usamos aritmética modular. Como 1001 = 7cdot11cdot13, temos para cada pin7,11,13:
1000 equiv -1 pmod p
Logo
1000^k equiv (-1)^k pmod p
e portanto
a = sumk=0^m Bk,1000^k equiv sumk=0^m Bk(-1)^k pmod p

Passo 4

Da congruência acima segue que a é divisível por p se e somente se
B0 - B1 + B2 - B3 + cdots equiv 0 pmod p
Mas B0 é exatamente o número formado pelos três últimos dígitos a2a1a0, B1 pelos próximos três a5a4a3, e assim por diante. Portanto, o critério de divisibilidade é: formar a expressão
(a2a1a0) - (a5a4a3) + (a8a7a6) - cdots
e verificar sua divisibilidade por 7, 11 ou 13.

Passo 5

Dessa forma concluímos que para qualquer número a em base 10, ele é divisível por 7, por 11 ou por 13 se, e somente se, o valor obtido ao agrupar dígitos em blocos de três e somá-los/subtraí-los alternadamente for divisível por 7, 11 ou 13, respectivamente.

Resposta

O número é divisível por 7, 11 ou 13 se, ao dividir seus dígitos em blocos de três (da direita para a esquerda) formando os valores B0=a2a1a0, B1=a5a4a3, B2=a8a7a6, etc., o resultado
B0 - B1 + B2 - B3 + cdots
for divisível por 7, por 11 ou por 13, respectivamente.

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