Mostre que se
, o algarismo das unidades na representação na base 10 de
só pode ser
ou 9 . Ache os algarismos das unidades de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o algarismo das unidades de
na base 10 só pode ser 1, 3, 7 ou 9 e, em seguida, encontrar esses algarismos para as potências
,
,
e
. Vamos usar aritmética modular para isso.
Passo 2
Na base 10, o algarismo das unidades de um número é o resto da divisão por 10, então precisamos estudar
.
Passo 3
Calculamos os primeiros valores de
para detectar um padrão:
Passo 4
Como
, esse padrão se repete de 4 em 4. Portanto, os restos possíveis — e, consequentemente, os algarismos das unidades — são 3, 9, 7 e 1.
Passo 5
Para determinar o algarismo das unidades de
, basta ver
: resto 1 → 3; resto 2 → 9; resto 3 → 7; resto 0 → 1. Aplicando isso: 400 mod 4 = 0 → 1; 401 mod 4 = 1 → 3; 402 mod 4 = 2 → 9; 403 mod 4 = 3 → 7.
Resposta
Para
o algarismo das unidades é 1; para
é 3; para
é 9; e para
é 7.