Mostre que se n in Z^+, o algarismo das unidades na representação na base 10 de 3^n só pode ser 1,3,7 ou 9 . Ache os algarismos das unidades de 3^400, 3^401, 3^402 e 3^403.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o algarismo das unidades de 3^n na base 10 só pode ser 1, 3, 7 ou 9 e, em seguida, encontrar esses algarismos para as potências 3^400, 3^401, 3^402 e 3^403. Vamos usar aritmética modular para isso.

Passo 2

Na base 10, o algarismo das unidades de um número é o resto da divisão por 10, então precisamos estudar 3^n bmod 10.

Passo 3

Calculamos os primeiros valores de 3^n bmod 10 para detectar um padrão:
3^1 equiv 3 pmod10, 3^2 equiv 9 pmod10, 3^3 equiv 27 equiv 7 pmod10, 3^4 equiv 81 equiv 1 pmod10

Passo 4

Como 3^5 = 3^4 cdot 3 equiv 1 cdot 3 equiv 3 pmod10, esse padrão se repete de 4 em 4. Portanto, os restos possíveis — e, consequentemente, os algarismos das unidades — são 3, 9, 7 e 1.

Passo 5

Para determinar o algarismo das unidades de 3^n, basta ver n bmod 4: resto 1 → 3; resto 2 → 9; resto 3 → 7; resto 0 → 1. Aplicando isso: 400 mod 4 = 0 → 1; 401 mod 4 = 1 → 3; 402 mod 4 = 2 → 9; 403 mod 4 = 3 → 7.

Resposta

Para 3^400 o algarismo das unidades é 1; para 3^401 é 3; para 3^402 é 9; e para 3^403 é 7.

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