Seja n in Z^+, mostre que
13^3 n+17^3 n é divisível por 45 para todo n ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro positivo ímpar n, o número 13^3n+17^3n é múltiplo de 45. O conteúdo envolve aritmética modular e o uso do Teorema Chinês dos Restos, já que 45=5·9. Vamos provar que a expressão é simultaneamente divisível por 5 e por 9.

Passo 2

Para verificar a divisibilidade por 5, reduzimos 13 e 17 módulo 5:
13 equiv 3 pmod5, 17 equiv 2 pmod5
Então
13^3n+17^3n equiv 3^3n + 2^3n pmod5
Como 3^3=27equiv2pmod5 e 2^3=8equiv3pmod5, temos
3^3n = (3^3)^n equiv 2^n, 2^3n = (2^3)^n equiv 3^n pmod5
Para n ímpar, 2^nequiv2 e 3^nequiv3 em módulo 5, logo
3^3n+2^3nequiv2+3=5equiv0pmod5

Passo 3

Para verificar a divisibilidade por 9, reduzimos 13 e 17 módulo 9:
13 equiv 4 pmod9, 17 equiv 8 equiv -1 pmod9
Então
13^3n+17^3n equiv 4^3n + (-1)^3n pmod9
Como 4^3=64equiv1pmod9,
4^3n=(4^3)^nequiv1^n=1pmod9,
e para n ímpar
(-1)^3n = (-1)^n = -1pmod9
Portanto
4^3n+(-1)^3nequiv1 + (-1)=0pmod9

Passo 4

Como mostramos que 13^3n+17^3n é múltiplo de 5 e também múltiplo de 9, pela fatoração de 45=5·9 e pelo Teorema Chinês dos Restos concluímos que 13^3n+17^3n é múltiplo de 45 para todo n ímpar.

Resposta

Para todo inteiro positivo ímpar n, temos 45mid (13^3n+17^3n).

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