Seja
, mostre que
é divisível por 45 para todo
ímpar.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro positivo ímpar
, o número
é múltiplo de 45. O conteúdo envolve aritmética modular e o uso do Teorema Chinês dos Restos, já que 45=5·9. Vamos provar que a expressão é simultaneamente divisível por 5 e por 9.
Passo 2
Para verificar a divisibilidade por 5, reduzimos 13 e 17 módulo 5:
Então
Como
e
, temos
Para
ímpar,
e
em módulo 5, logo
Passo 3
Para verificar a divisibilidade por 9, reduzimos 13 e 17 módulo 9:
Então
Como
,
e para
ímpar
Portanto
Passo 4
Como mostramos que
é múltiplo de 5 e também múltiplo de 9, pela fatoração de 45=5·9 e pelo Teorema Chinês dos Restos concluímos que
é múltiplo de 45 para todo
ímpar.
Resposta
Para todo inteiro positivo ímpar
, temos
.