4.2.8 Se A é uma matriz antissimétrica, i.e., A^T=-A, calcule det(A).

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n tal que
A^T = -A,
isto é, A é antissimétrica (ou “skew-symmetric”). Queremos calcular det(A). Para isso vamos usar duas propriedades bem conhecidas de determinantes:
  1. det(A^T) = det(A).
  2. Se c é escalar e A é de ordem n, então det(cA) = c^ndet(A).

Passo 2

Aplicando a propriedade da transposta, temos
det(A^T) = det(A)
Mas como A^T = -A, podemos também escrever
det(A^T) = det(-A)

Passo 3

Uso agora a propriedade da multiplicação por escalar:
det(-A) = (-1)^n,det(A)
Logo, das igualdades acima segue
det(A) = det(A^T) = det(-A) = (-1)^ndet(A)

Passo 4

Reescrevendo a última igualdade, obtemos
det(A) = (-1)^ndet(A) Longrightarrow l(1-(-1)^nr)det(A) = 0
Agora basta analisar o fator 1-(-1)^n:
  • Se n é ímpar, então (-1)^n=-1 e 1-(-1)=2neq0. Daí det(A)=0.
  • Se n é par, então (-1)^n=+1 e 1-1=0, o que não impõe restrição adicional sobre det(A).

Resposta

Se A é de ordem ímpar, então det(A)=0. Se A é de ordem par, a relação acima não obriga det(A) a ser zero.

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