4.2.8 Se
é uma matriz antissimétrica, i.e.,
, calcule
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada de ordem
tal que
isto é,
é antissimétrica (ou “skew-symmetric”). Queremos calcular
. Para isso vamos usar duas propriedades bem conhecidas de determinantes:
-
. - Se
é escalar e é de ordem , então .
Passo 2
Aplicando a propriedade da transposta, temos
Mas como
, podemos também escrever
Passo 3
Uso agora a propriedade da multiplicação por escalar:
Logo, das igualdades acima segue
Passo 4
Reescrevendo a última igualdade, obtemos
Agora basta analisar o fator
:
- Se
é ímpar, então e . Daí . - Se
é par, então e , o que não impõe restrição adicional sobre .
Resposta
Se
é de ordem ímpar, então
. Se
é de ordem par, a relação acima não obriga
a ser zero.