4.2.3 Mostre, sem usar determinantes, que, se
for uma matriz
singular, então,
também será uma matriz singular, qualquer que seja a matriz
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas matrizes quadradas
e
de ordem
, se
é singular (isto é, não invertível), então o produto
também é singular. O conteúdo que vamos usar é a definição de matriz singular via núcleo: uma matriz é singular se, e somente se, seu núcleo contém algum vetor não-nulo.
Passo 2
Como
é singular, existe um vetor não-nulo
tal que
Esse
está no núcleo de
.
Passo 3
Agora aplicamos
ao vetor
. Como
, temos
Logo,
Isso mostra que o mesmo vetor
está também no núcleo de
.
Passo 4
Como encontramos
tal que
, o núcleo de
é não trivial. Portanto,
não é invertível, ou seja,
é singular.
Resposta
Como
tem núcleo não trivial,
é singular.