4.2.3 Mostre, sem usar determinantes, que, se B for uma matriz n times n singular, então, A B também será uma matriz singular, qualquer que seja a matriz A n times n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas matrizes quadradas A e B de ordem n, se B é singular (isto é, não invertível), então o produto AB também é singular. O conteúdo que vamos usar é a definição de matriz singular via núcleo: uma matriz é singular se, e somente se, seu núcleo contém algum vetor não-nulo.

Passo 2

Como B é singular, existe um vetor não-nulo xinR^n tal que
B x = 0
Esse xneq 0 está no núcleo de B.

Passo 3

Agora aplicamos A ao vetor B x. Como B x=0, temos
A(Bx)=A(0)=0
Logo,
(AB)x = 0
Isso mostra que o mesmo vetor xneq 0 está também no núcleo de AB.

Passo 4

Como encontramos xneq 0 tal que (AB)x=0, o núcleo de AB é não trivial. Portanto, AB não é invertível, ou seja, AB é singular.

Resposta

Como AB tem núcleo não trivial, AB é singular.

Exercícios de Livros Relacionados