58 O modelo logístico de crescimento populacional prevê o tamanho y(t) de uma população no instante t por meio da fórmula y(t)=k /\left(1+c e^{-r t}\right), onde r e k são constantes positivas e c=[k- y(0)] / y(0). Os ecologistas denominam k a capacidade de sustento (carryng capacity) e o interpretam como o número máximo de indivíduos que o ambiente pode sustentar. Ache \lim _{t \rightarrow \infty} y(t) e \lim _{k \rightarrow \infty} y(t), e discuta a significação gráfica desses limites.

Passo 1

O enunciado dá o modelo logístico de crescimento
y(t)=\frac{k}{1+c\,e^{-rt}}
com r>0, k>0 e
c=\frac{k-y(0)}{y(0)}.
Pede-se \lim_{t\to\infty}y(t) e \lim_{k\to\infty}y(t), e interpretar graficamente esses limites.

Passo 2

Para \displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t) note que e^{-rt}\to0. Na fórmula de y(t) sobra
\lim_{t\to\infty}y(t) =\lim_{t\to\infty}\frac{k}{1+c\,e^{-rt}} =\frac{k}{1+0} =k.

Passo 3

Para \displaystyle\lim_{k\to\infty}y(t) expresse primeiro o denominador em função de k:
1+c\,e^{-rt} =1+\Bigl(\tfrac{k-y(0)}{y(0)}\Bigr)e^{-rt} =\frac{k\,e^{-rt}}{y(0)}+\bigl(1-e^{-rt}\bigr).
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y(t) =\frac{k}{\frac{k\,e^{-rt}}{y(0)}+\bigl(1-e^{-rt}\bigr)} =\frac{1}{\frac{e^{-rt}}{y(0)}+\frac{1-e^{-rt}}{k}}.
Fazendo k\to\infty o termo \tfrac{1-e^{-rt}}{k} tende a zero, restando
\lim_{k\to\infty}y(t) =\frac{1}{\displaystyle\frac{e^{-rt}}{y(0)}} =y(0)\,e^{rt}.

Passo 4

Grafico-mente, \lim_{t\to\infty}y(t)=k significa que a curva logística tem uma assimptota horizontal em y=k (capacidade de sustento). Já \lim_{k\to\infty}y(t)=y(0)e^{rt} diz que, se não há limite ambiental k\to\infty, o crescimento é puramente exponencial.

Resposta

\displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=k \displaystyle\lim_{k\to\infty}y(t)=y(0)\,e^{rt}

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