1.4 Mostre que
[
i^{n}=\left{ lll 1 & , & se n equiv 0 bmod 4 i & , & se n equiv 1 bmod 4 -1 & , & se n equiv 2 bmod 4 -i & , & se n equiv 3 bmod 4 \right.

Passo 1

A questão pede para mostrar que a potência de índice inteiro de i (a unidade imaginária) é periódica de período 4. O conteúdo é propriedade de potências em números complexos; vamos usar as potências iniciais de i e a divisão euclidiana de n por 4.

Passo 2

Primeiro calculamos as potências fundamentais de i:
i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1

Passo 3

Em seguida, aplicamos divisão euclidiana: dados inteiro n, existem únicos q e r tais que n = 4q + r, com r ∈ {0,1,2,3}.

Passo 4

Como i^4 = 1, temos
i^n = i^4q + r = (i^4)^q cdot i^r = 1^q cdot i^r = i^r
Basta então identificar cada caso de r.

Passo 5

Reconhecendo os valores de i^r para r = 0,1,2,3, concluímos a forma desejada.

Resposta

i^n= 1, &se n equiv 0pmod4, i, &se n equiv 1pmod4, -1, &se n equiv 2pmod4, -i, &se n equiv 3pmod4

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