1.4 Mostre que
[
i^{n}=\left{
\right.
i^{n}=\left{
Passo 1
A questão pede para mostrar que a potência de índice inteiro de i (a unidade imaginária) é periódica de período 4. O conteúdo é propriedade de potências em números complexos; vamos usar as potências iniciais de i e a divisão euclidiana de n por 4.
Passo 2
Primeiro calculamos as potências fundamentais de i:
Passo 3
Em seguida, aplicamos divisão euclidiana: dados inteiro n, existem únicos q e r tais que n = 4q + r, com r ∈ {0,1,2,3}.
Passo 4
Como
, temos
Basta então identificar cada caso de r.
Passo 5
Reconhecendo os valores de
para r = 0,1,2,3, concluímos a forma desejada.